Calcule a transformada de Laplace inversa
2 s+3s^2+2 s+5

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=2s+3s^2+2s+5
O conteúdo é a propriedade de deslocamento exponencial e as fórmulas
Le^-atcos(bt)=s+a(s+a)^2+b^2, Le^-atsin(bt)=b(s+a)^2+b^2

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+5 = (s+1)^2 + 4

Passo 3

Agora escrevemos o numerador em termos de s+1:
2s+3 = 2(s+1) + 1

Passo 4

Reescrevendo F(s) em duas parcelas que lembram as fórmulas conhecidas:
2s+3s^2+2s+5 = 2(s+1)(s+1)^2+2^2 + 1(s+1)^2+2^2

Passo 5

Usando a linearidade e as transformadas:
  • L^-1!ls+1(s+1)^2+2^2r(t) = e^-tcos(2t)
  • L^-1!l2(s+1)^2+2^2r(t) = e^-tsin(2t)
Logo,
L^-1F(s)(t) =2,e^-tcos(2t) +1cdot12,e^-tsin(2t) =2e^-tcos(2t)+tfrac12e^-tsin(2t)

Resposta

L^-1ltfrac2s+3s^2+2s+5r(t) =2e^-tcos(2t)+tfrac12e^-tsin(2t)

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