Dada a seguinte equação diferencial y^prime prime+A y^prime+B y=e^alpha x+e^beta x (2a ordem linear e não homogênea). Calcule suas soluções particulares para os valores de A, B, alpha e beta indicados abaixo.
(0,75 ponto) A=-3, B=2, alpha=2, beta=2

Passo 1

O enunciado é a EDO linear não homogênea de 2ª ordem
y''-3y'+2y=e^2x+e^2x
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução geral da homogênea. A equação característica é
r^2-3r+2=0
Suas raízes são r=1 e r=2, logo
yh=C1e^x+C2e^2x.

Passo 3

Como o termo forçante é e^2x+e^2x=2e^2x e e^2x é parte da solução homogênea (raiz simples r=2), multiplicamos o ansatz por x. Assim, propomos
yp=Cx e^2x.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp=Cx e^2x
yp'=(2Cx+C)e^2x
yp''=(4Cx+4C)e^2x.

Passo 5

Substituímos na equação:
yp''-3yp'+2yp=(4Cx+4C)e^2x-3(2Cx+C)e^2x+2(Cx)e^2x
Dentro dos colchetes, o coeficiente de x anula e sobra
4C-3C=C
Logo
yp''-3yp'+2yp=C e^2x
Deve igualar a 2e^2x, o que dá C=2.

Passo 6

Portanto, a solução particular é
yp(x)=2x e^2x.

Resposta

yp(x)=2x e^2x

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