Questão 03. ( 2,5 pontos) Encontre a solução da EDO
Passo 1
A questão dá a EDO de primeira ordem não linear y′+x y = x e^{−x²} y^{−3}. O conteúdo é manipular equações de Bernoulli e usar fator integrante após tornar a equação linear numa nova variável. Vamos precisar usar a propriedade de que y³y′ =
(y⁴)′ e o método de fator integrante.
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados da equação original por y³ para expor a derivada de y⁴. Assim obtemos
Passo 3
Reconhecemos que y³ y′ =
(y⁴)′. Substituindo na equação acima e multiplicando tudo por 4, fica
Passo 4
Definimos a nova variável z = y⁴. A equação vira uma EDO linear em z:
Passo 5
Calculamos o fator integrante μ(x)=exp(∫4x dx)=e^{2x²}. Multiplicando a equação por μ:
Integrando em x:
Passo 6
Isolando z e voltando a y, temos
Portanto