Questão 03. ( 2,5 pontos) Encontre a solução da EDO y^prime+x y=x e^-x^2 y^-3

Passo 1

A questão dá a EDO de primeira ordem não linear y′+x y = x e^{−x²} y^{−3}. O conteúdo é manipular equações de Bernoulli e usar fator integrante após tornar a equação linear numa nova variável. Vamos precisar usar a propriedade de que y³y′ = tfrac14(y⁴)′ e o método de fator integrante.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação original por y³ para expor a derivada de y⁴. Assim obtemos
y³ y + x y⁴ = x e^−x², ³²

Passo 3

Reconhecemos que y³ y′ = tfrac14(y⁴)′. Substituindo na equação acima e multiplicando tudo por 4, fica
(y⁴) + 4x y⁴ = 4x e^−x² ²

Passo 4

Definimos a nova variável z = y⁴. A equação vira uma EDO linear em z:
z + 4x z = 4x e^−x² ²

Passo 5

Calculamos o fator integrante μ(x)=exp(∫4x dx)=e^{2x²}. Multiplicando a equação por μ:
(z e^2x²) = 4x e^−x² e^2x² = 4x e^x² ²²²²
Integrando em x:
z e^2x² = integral 4x e^x² dx = 2 e^x² + C ²²²

Passo 6

Isolando z e voltando a y, temos
y⁴ = z = (2 e^x² + C),e^−2x² = 2 e^−x² + C e^−2x² ²²²²
Portanto
y(x)=pml(2 e^−x² + C e^−2x²r)^1/4, ²²onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x)=pml(2e^−x^2+Ce^−2x^2r)^1/4

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