Dada a seguinte equação diferencial
(2a ordem linear e não homogênea). Calcule suas soluções particulares para os valores de
e
indicados abaixo.
ponto)
Passo 1
A equação diferencial dada é y’’ + 8y’ + 16y = e^{2x} + e^{-4x}. Isso é uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, não homogênea. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes a determinar: primeiro achamos a equação característica e depois propomos formas de solução particular para cada termo do lado direito.
Passo 2
A equação característica associada à parte homogênea y’’ + 8y’ + 16y = 0 é r^2 + 8r + 16 = 0. Reconhecemos que isso é (r + 4)^2 = 0, ou seja, r = -4 é raiz dupla.
Passo 3
Pelo método dos coeficientes indeterminados, para o termo e^{2x} (com 2 não sendo raiz da característica) propomos y_{p1} = C e^{2x}. Para o termo e^{-4x}, como -4 é raiz de multiplicidade 2, multiplicamos por x^2 e propomos y_{p2} = D x^2 e^{-4x}. Assim y_p = y_{p1} + y_{p2}.
Passo 4
Para y_{p1}: y_1 = C e^{2x}, então y_1’ = 2C e^{2x} e y_1’’ = 4C e^{2x}. Substituindo na EDO: (4C + 8·2C + 16C)e^{2x} = 36C e^{2x}, que deve ser igual a e^{2x}. Logo 36C = 1 ⇒ C = 1/36.
Passo 5
Para y_{p2}: y_2 = D x^2 e^{-4x}. Usando a regra do produto, y_2’ = D e^{-4x}(2x - 4x^2) e y_2’’ = D e{-4x}(16x2 - 16x + 2). Substituindo na EDO e somando y_2’’ + 8y_2’ + 16y_2 obtemos 2D e^{-4x} = e^{-4x}, ou seja, 2D = 1 ⇒ D = 1/2.
Passo 6
Juntando os coeficientes encontrados, a solução particular fica y_p(x) = (1/36)e^{2x} + (1/2)x^2 e^{-4x}.