Dada a seguinte equação diferencial y^prime prime+A y^prime+B y=e^alpha x+e^beta x (2a ordem linear e não homogênea). Calcule suas soluções particulares para os valores de A, B, alpha e beta indicados abaixo.
(0,75 ponto) A=-3, B=2, alpha=-1, beta=-2

Passo 1

Temos a equação diferencial de 2ª ordem não homogênea
y'' - 3y' + 2y = e^-x + e^-2x
Os valores dados são A = -3, B = 2, α = -1 e β = -2. Para achar as soluções particulares, vamos usar o método de coeficientes a determinar, tratando separadamente cada termo de forçamento.

Passo 2

Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea associada e suas raízes. A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo, obtemos r = 1 e r = 2, logo a solução homogênea não entra em ressonância com e^{-x} nem com e^{-2x}.

Passo 3

Para o termo e^{-x}, tentamos uma solução particular do tipo
yp1(x) = A1 e^-x
Derivando e substituindo na EDO: y’{p1} = -A_1 e^{-x}, y’’{p1} = A_1 e^{-x}. Logo

Passo 4

y''p1 - 3y'p1 + 2yp1 = (A1 + 3A1 + 2A1)e^-x = 6A1 e^-x = e^-x
Assim, 6A_1 = 1 ⇒ A_1 = 1/6.

Passo 5

Para o termo e^{-2x}, tentamos
yp2(x) = B1 e^-2x
Derivando e substituindo: y’{p2} = -2B_1 e^{-2x}, y’’{p2} = 4B_1 e^{-2x}. Então

Passo 6

y''p2 - 3y'p2 + 2yp2 = (4B1 + 6B1 + 2B1)e^-2x = 12B1 e^-2x = e^-2x
Logo, 12B_1 = 1 ⇒ B_1 = 1/12.

Passo 7

A solução particular geral é a soma de y_{p1} e y_{p2}:

Resposta

y_p(x) = \frac{1}{6}e^{-x} + \frac{1}{12}e^{-2x}

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