Dada a seguinte equação diferencial
(2a ordem linear e não homogênea). Calcule suas soluções particulares para os valores de
e
indicados abaixo.
ponto)
Passo 1
Temos a equação diferencial de 2ª ordem não homogênea
Os valores dados são A = -3, B = 2, α = -1 e β = -2. Para achar as soluções particulares, vamos usar o método de coeficientes a determinar, tratando separadamente cada termo de forçamento.
Passo 2
Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea associada e suas raízes. A equação característica é
Resolvendo, obtemos r = 1 e r = 2, logo a solução homogênea não entra em ressonância com e^{-x} nem com e^{-2x}.
Passo 3
Para o termo e^{-x}, tentamos uma solução particular do tipo
Derivando e substituindo na EDO: y’{p1} = -A_1 e^{-x}, y’’{p1} = A_1 e^{-x}. Logo
Passo 4
Assim, 6A_1 = 1 ⇒ A_1 = 1/6.
Passo 5
Para o termo e^{-2x}, tentamos
Derivando e substituindo: y’{p2} = -2B_1 e^{-2x}, y’’{p2} = 4B_1 e^{-2x}. Então
Passo 6
Logo, 12B_1 = 1 ⇒ B_1 = 1/12.
Passo 7
A solução particular geral é a soma de y_{p1} e y_{p2}:
Resposta
y_p(x) = \frac{1}{6}e^{-x} + \frac{1}{12}e^{-2x}