Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(3 \cos (7 x) e^{5 x}-6 e^{-2 x} \operatorname{sen}(4 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Laplace da função
f(x)=3\cos(7x)e^{5x}-6e^{-2x}\operatorname{sen}(4x).
O conteúdo aqui é a Transformada de Laplace, em particular vamos usar a linearidade e o teorema do deslocamento exponencial no domínio de s.

Passo 2

Pela linearidade da Transformada de Laplace,
\mathcal{L}\bigl(a\,g(x)+b\,h(x)\bigr) = a\,\mathcal{L}\{g(x)\}+b\,\mathcal{L}\{h(x)\}.
E pelo teorema do deslocamento exponencial, temos as fórmulas padrão:
\mathcal{L}\bigl(e^{ax}\cos(bx)\bigr) =\frac{s - a}{(s - a)^2 + b^2},
\mathcal{L}\bigl(e^{ax}\operatorname{sen}(bx)\bigr) =\frac{b}{(s - a)^2 + b^2}.

Passo 3

Aplicando ao primeiro termo 3\cos(7x)e^{5x}, com a=5 e b=7,
\mathcal{L}\{3e^{5x}\cos(7x)\} =3\;\frac{s-5}{(s-5)^2+7^2} =\frac{3(s-5)}{(s-5)^2+49}.

Passo 4

Aplicando ao segundo termo -6e^{-2x}\operatorname{sen}(4x), com a=-2 e b=4,
\mathcal{L}\{-6e^{-2x}\operatorname{sen}(4x)\} =-6\;\frac{4}{(s-(-2))^2+4^2} =-\frac{24}{(s+2)^2+16}.

Passo 5

Somando as duas partes pela linearidade, obtemos
\mathcal{L}\{f(x)\} =\frac{3(s-5)}{(s-5)^2+49} -\frac{24}{(s+2)^2+16}.

Resposta

\mathcal{L}\bigl(3\cos(7x)e^{5x}-6e^{-2x}\operatorname{sen}(4x)\bigr) =\frac{3(s-5)}{(s-5)^2+49} -\frac{24}{(s+2)^2+16}.

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