Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(5 e^{7 x} x^{3}-2 \cos (8 x) e^{-4 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathcal{L}\bigl(5e^{7x}x^{3}-2\cos(8x)e^{-4x}\bigr).
O conteúdo é Transformada de Laplace, e vamos usar as propriedades de linearidade, a transformada de x^n e o teorema do deslocamento no domínio s.

Passo 2

Pela linearidade da Transformada de Laplace temos
\mathcal{L}\bigl(5e^{7x}x^{3}-2e^{-4x}\cos(8x)\bigr) =5\,\mathcal{L}\bigl(e^{7x}x^{3}\bigr) -2\,\mathcal{L}\bigl(e^{-4x}\cos(8x)\bigr).
Logo, vamos calcular separadamente \mathcal{L}(e^{7x}x^{3}) e \mathcal{L}(e^{-4x}\cos(8x)).

Passo 3

Para \mathcal{L}(e^{7x}x^{3}):
  1. Sabemos que
\mathcal{L}(x^{3})=\frac{3!}{s^{4}}=\frac{6}{s^{4}}.
  1. Pelo teorema do deslocamento, multiplicar por e^{7x} equivale a substituir s por s-7. Assim,
\mathcal{L}(e^{7x}x^{3}) =\frac{6}{(s-7)^{4}}.
  1. Multiplicando pelo fator 5, obtém-se
5\,\mathcal{L}(e^{7x}x^{3}) =\frac{30}{(s-7)^{4}}.

Passo 4

Para \mathcal{L}(e^{-4x}\cos(8x)):
  1. A transformada básica é
\mathcal{L}(\cos(8x)) =\frac{s}{s^{2}+8^{2}} =\frac{s}{s^{2}+64}.
  1. Pelo teorema do deslocamento, multiplicar por e^{-4x} faz s\mapsto s+4. Logo,
\mathcal{L}(e^{-4x}\cos(8x)) =\frac{s+4}{(s+4)^{2}+64}.
  1. Multiplicando pelo fator -2, resulta
-2\,\mathcal{L}(e^{-4x}\cos(8x)) =-2\frac{s+4}{(s+4)^{2}+64}.

Passo 5

Somando as duas parcelas, temos
\mathcal{L}\bigl(5e^{7x}x^{3}-2\cos(8x)e^{-4x}\bigr) =\frac{30}{(s-7)^{4}} -2\,\frac{s+4}{(s+4)^{2}+64}.

Resposta

\mathcal{L}\bigl(5e^{7x}x^{3}-2\cos(8x)e^{-4x}\bigr) =\frac{30}{(s-7)^{4}} -2\,\frac{s+4}{(s+4)^{2}+64}.

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