Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(2 e^{3 x} \cos (4 x)-5 \operatorname{sen}(6 x) e^{-7 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(x)=2e^{3x}\cos(4x)\;-\;5\,e^{-7x}\sin(6x).
O conteúdo aqui é a propriedade da linearidade da transformada de Laplace e o teorema de deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Usando a linearidade, escrevemos
\mathcal{L}\{f(x)\} =2\,\mathcal{L}\{e^{3x}\cos(4x)\} \;-\;5\,\mathcal{L}\{e^{-7x}\sin(6x)\}.

Passo 3

Sabemos que, para a,b\in\mathbb{R},
\mathcal{L}\{e^{ax}\cos(bx)\} =\frac{s - a}{(s - a)^{2} + b^{2}}.
Aqui a=3 e b=4, então
\mathcal{L}\{e^{3x}\cos(4x)\} =\frac{s - 3}{(s - 3)^{2} + 16}.
Multiplicando por 2, obtemos
2\,\mathcal{L}\{e^{3x}\cos(4x)\} =\frac{2\,(s - 3)}{(s - 3)^{2} + 16}.

Passo 4

Também sabemos que
\mathcal{L}\{e^{ax}\sin(bx)\} =\frac{b}{(s - a)^{2} + b^{2}}.
No segundo termo temos a=-7 e b=6, pois aparece e^{-7x}\sin(6x). Logo,
\mathcal{L}\{e^{-7x}\sin(6x)\} =\frac{6}{(s + 7)^{2} + 36}.
Multiplicando por -5, vem
-5\,\mathcal{L}\{e^{-7x}\sin(6x)\} =-\frac{30}{(s + 7)^{2} + 36}.

Passo 5

Somando os dois resultados, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(x)\} =\frac{2\,(s - 3)}{(s - 3)^{2} + 16} \;-\; \frac{30}{(s + 7)^{2} + 36}.

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{2e^{3x}\cos(4x)-5\,e^{-7x}\sin(6x)\} =\frac{2\,(s - 3)}{(s - 3)^{2} + 16} -\frac{30}{(s + 7)^{2} + 36} }.

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