Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(3 e^{-2 x} x \operatorname{sen}(4 x)+5 e^{6 x} x \cos (7 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \mathcal{L}\bigl(3e^{-2x}x\sin(4x)+5e^{6x}x\cos(7x)\bigr).
O conteúdo envolve a propriedade de deslocamento em s para funções multiplicadas por e^{ax}
e a propriedade de diferenciação
\displaystyle \mathcal{L}\{x\,f(x)\} = -\frac{d}{ds}F(s), onde F(s)=\mathcal{L}\{f(x)\}.

Passo 2

Primeiro, calculemos
\displaystyle \mathcal{L}\{x\sin(4x)\}.
Sabendo que
\displaystyle \mathcal{L}\{\sin(4x)\}=\frac{4}{s^2+4^2},
temos
\mathcal{L}\{x\sin(4x)\} = -\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{4}{s^2+16}\Bigr) = \frac{8s}{(s^2+16)^2}.
Pela propriedade de deslocamento,
\displaystyle \mathcal{L}\{e^{-2x}x\sin(4x)\} = \mathcal{L}\{x\sin(4x)\}\big|_{s\to s+2},
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\mathcal{L}\{e^{-2x}x\sin(4x)\} = \frac{8(s+2)}{\bigl((s+2)^2+16\bigr)^2}.
Multiplicando por 3, obtemos
\mathcal{L}\{3e^{-2x}x\sin(4x)\} = \frac{24(s+2)}{\bigl((s+2)^2+16\bigr)^2}.

Passo 3

Agora calculemos
\displaystyle \mathcal{L}\{x\cos(7x)\}.
Como
\displaystyle \mathcal{L}\{\cos(7x)\}=\frac{s}{s^2+7^2},
temos
\mathcal{L}\{x\cos(7x)\} = -\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^2+49}\Bigr) = \frac{s^2-49}{(s^2+49)^2}.
Aplicando a propriedade de deslocamento para e^{6x} (substituição s\to s-6),
\mathcal{L}\{e^{6x}x\cos(7x)\} = \frac{(s-6)^2-49}{\bigl((s-6)^2+49\bigr)^2}.
Multiplicando por 5, resulta
\mathcal{L}\{5e^{6x}x\cos(7x)\} = \frac{5\bigl((s-6)^2-49\bigr)}{\bigl((s-6)^2+49\bigr)^2}.

Passo 4

Somando os dois resultados, a transformada buscada é
\frac{24(s+2)}{\bigl((s+2)^2+16\bigr)^2} + \frac{5\bigl((s-6)^2-49\bigr)}{\bigl((s-6)^2+49\bigr)^2}.

Resposta

\mathcal{L}\bigl(3e^{-2x}x\sin(4x)+5e^{6x}x\cos(7x)\bigr) = \frac{24(s+2)}{\bigl((s+2)^2+16\bigr)^2} + \frac{5\bigl((s-6)^2-49\bigr)}{\bigl((s-6)^2+49\bigr)^2}.

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