Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(6 e^{8 x} \operatorname{sen}(3 x)-3 x^{4} e^{-5 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
6e^{8x}\operatorname{sen}(3x)\;-\;3x^{4}e^{-5x}.
O conteúdo envolvido é a linearidade da transformada e duas propriedades importantes:
Deslocamento no domínio s:
\mathcal{L}\{e^{ax}f(x)\}(s)=F(s-a) se \mathcal{L}\{f(x)\}(s)=F(s).
Potência de x:
\mathcal{L}\{x^{n}\}(s)=\dfrac{n!}{s^{\,n+1}}.

Passo 2

Calcular \mathcal{L}\{6e^{8x}\operatorname{sen}(3x)\}.
  1. Primeiro, sabemos que
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(3x)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.
  1. Aplicando o deslocamento e^{8x}, trocamos s por s-8:
\mathcal{L}\{e^{8x}\operatorname{sen}(3x)\}(s) =\frac{3}{(s-8)^{2}+9}.
  1. Multiplicando pelo coeficiente 6:
\mathcal{L}\{6e^{8x}\operatorname{sen}(3x)\}(s) =\frac{18}{(s-8)^{2}+9}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{-3x^{4}e^{-5x}\}.
  1. Primeiro, para x^{4}:
\mathcal{L}\{x^{4}\}(s) =\frac{4!}{s^{5}} =\frac{24}{s^{5}}.
  1. Aplicando o deslocamento e^{-5x}, trocamos s por s+5:
\mathcal{L}\{x^{4}e^{-5x}\}(s) =\frac{24}{(s+5)^{5}}.
  1. Multiplicando pelo coeficiente -3:
\mathcal{L}\{-3x^{4}e^{-5x}\}(s) =-\frac{72}{(s+5)^{5}}.

Passo 4

Pela linearidade da transformada, basta somar os resultados obtidos:
\mathcal{L}\{6e^{8x}\operatorname{sen}(3x)-3x^{4}e^{-5x}\}(s) =\frac{18}{(s-8)^{2}+9} -\frac{72}{(s+5)^{5}}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{6e^{8x}\operatorname{sen}(3x)-3x^{4}e^{-5x}\}(s) =\frac{18}{(s-8)^{2}+9} -\frac{72}{(s+5)^{5}}.}

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