Use as propriedades das transformadas de Laplace e resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá duas equações diferenciais com condições iniciais e pede encontrar as soluções
.
Primeira EDO e condição inicial:
Segunda EDO e condições iniciais:
O objetivo é resolver cada EDO e obter
explícita.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, definir notação e lembrar propriedades que usaremos.
Definição e notação:
e escreverei
.
Propriedades essenciais (linéaridade e derivadas):
- Linearidade:
. - Transformada de uma exponencial:
para . - Transformada da primeira derivada: para
com condições iniciais bem definidas,
Uma breve justificativa via integração por partes:
.
- Transformada da segunda derivada:
Essas fórmulas transformam a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Resolver a primeira EDO por Laplace.
Aplicar
em ambos os lados de
Usando as propriedades:
Substituindo
e a condição inicial
:
Como
, fica
Fatorando
:
Logo
Passo 4
Calcular a transformada inversa de
usando frações parciais e pares padrão da Laplace.
Fazer frações parciais:
Multiplicando por
:
Determinar
e
: tomando
obtém-se
. Tomando
obtém-se
.
Portanto
Usar transformadas inversas padrão
:
Podemos verificar rapidamente a condição inicial:
, ok.
Passo 5
Resolver a segunda EDO por Laplace.
Aplicar
em
Usando fórmulas para derivadas e as condições iniciais
,
:
Substituindo
e
:
Agrupar os termos em
:
Observar que
. Assim
portanto
Passo 6
Calcular a transformada inversa de
.
Usar a propriedade envolvendo multiplicação por
: se
então
. Em particular, como
, diferenciando em
obtém-se
Aplicando com
:
Portanto a transformada inversa é
Verificação rápida das condições iniciais:
. Calcular
e então
, conforme dado.
Passo 7
Recapitulando de forma prática (como fazer na prova):
- Aplicar
à EDO transforma derivadas em polinômios em multiplicando e introduz as condições iniciais. - Resolver a equação algébrica para
. - Usar frações parciais ou propriedades padrão (p.ex.
) para obter . - Sempre checar as condições iniciais rapidamente.