Use as propriedades das transformadas de Laplace e resolva as equações diferenciais:
\begin{gathered} y \prime+y=e^{2 t}, \quad y(0)=0 \\\ y \prime \prime-4 y \prime+4 y=0, \quad y(0)=0, \quad y \prime(0)=1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá duas equações diferenciais com condições iniciais e pede encontrar as soluções y(t).
Primeira EDO e condição inicial:
y' + y = e^{2t},\qquad y(0)=0.
Segunda EDO e condições iniciais:
y'' - 4y' + 4y = 0,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O objetivo é resolver cada EDO e obter y(t) explícita.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, definir notação e lembrar propriedades que usaremos.
Definição e notação:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
e escreverei Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Propriedades essenciais (linéaridade e derivadas):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformada de uma exponencial: \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\dfrac{1}{s-a} para \operatorname{Re}(s)>a.
  • Transformada da primeira derivada: para y com condições iniciais bem definidas,
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Uma breve justificativa via integração por partes: \mathcal{L}\{y'\}=\int_0^\infty e^{-st}y'(t)\,dt=[e^{-st}y]_{0}^{\infty}+s\int_0^\infty e^{-st}y(t)\,dt=-y(0)+sY(s).
  • Transformada da segunda derivada:
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas transformam a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Resolver a primeira EDO por Laplace.
Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados de
y' + y = e^{2t}.
Usando as propriedades:
\mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{e^{2t}\}(s).
Substituindo Y(s) e a condição inicial y(0)=0:
(sY(s)-y(0)) + Y(s) = \frac{1}{s-2}.
Como y(0)=0, fica
(sY(s)) + Y(s) = \frac{1}{s-2}.
Fatorando Y(s):
Y(s)\,(s+1)=\frac{1}{s-2}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s-2)(s+1)}.

Passo 4

Calcular a transformada inversa de Y(s) usando frações parciais e pares padrão da Laplace.
Fazer frações parciais:
\frac{1}{(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+1}.
Multiplicando por (s-2)(s+1):
1 = A(s+1)+B(s-2).
Determinar A e B: tomando s=2 obtém-se 1=3A\Rightarrow A=\tfrac{1}{3}. Tomando s=-1 obtém-se 1=-3B\Rightarrow B=-\tfrac{1}{3}.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s-2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.
Usar transformadas inversas padrão \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}:
y(t)=\frac{1}{3}e^{2t}-\frac{1}{3}e^{-t}=\frac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr).
Podemos verificar rapidamente a condição inicial: y(0)=\tfrac{1}{3}(1-1)=0, ok.

Passo 5

Resolver a segunda EDO por Laplace.
Aplicar \mathcal{L}\{\cdot\} em
y'' -4y' +4y = 0.
Usando fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1:
\mathcal{L}\{y''\}-4\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=0
\Rightarrow \bigl(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)-4\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+4Y(s)=0.
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1:
(s^{2}Y(s)-1)-4(sY(s))+4Y(s)=0.
Agrupar os termos em Y(s):
Y(s)\bigl(s^{2}-4s+4\bigr)-1=0.
Observar que s^{2}-4s+4=(s-2)^{2}. Assim
Y(s)(s-2)^{2}=1,
portanto
Y(s)=\frac{1}{(s-2)^{2}}.

Passo 6

Calcular a transformada inversa de \dfrac{1}{(s-2)^{2}}.
Usar a propriedade envolvendo multiplicação por t: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{t f(t)\}=-F'(s). Em particular, como \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}, diferenciando em s obtém-se
\mathcal{L}\{t e^{at}\}=-\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s-a}\right)=\frac{1}{(s-a)^{2}}.
Aplicando com a=2:
\mathcal{L}\{t e^{2t}\}=\frac{1}{(s-2)^{2}}.
Portanto a transformada inversa é
y(t)=t e^{2t}.
Verificação rápida das condições iniciais: y(0)=0. Calcular y'(t)=e^{2t}+2t e^{2t}=e^{2t}(1+2t) e então y'(0)=1, conforme dado.

Passo 7

Recapitulando de forma prática (como fazer na prova):
  • Aplicar \mathcal{L} à EDO transforma derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) e introduz as condições iniciais.
  • Resolver a equação algébrica para Y(s).
  • Usar frações parciais ou propriedades padrão (p.ex. \mathcal{L}\{t e^{at}\}=\tfrac{1}{(s-a)^2}) para obter \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.
  • Sempre checar as condições iniciais rapidamente.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\bigl(e^{2t}-e^{-t}\bigr)
y(t)=t e^{2t}

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