Efetue as decomposições em frações racionais e deduza os resultados:
\begin{gathered} \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}=1+\operatorname{sen}(t)-\cos (t) \\\ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}\right\}=1+e^{-(t / 2)}\left[\frac{1}{\sqrt{ } 3} \operatorname{sen}\left(\frac{\sqrt{ } 3}{2} t\right)-\cos \left(\frac{\sqrt{ } 3}{2} t\right)\right] \end{gathered}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem as transformadas inversas de duas funções racionais em s:
    1. \dfrac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}.
    2. \dfrac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}.
  • Informação dada: cada expressão é uma função racional em s. O objetivo é fazer decomposição em frações parciais (racionais) e aplicar propriedades básicas da transformada inversa de Laplace para obter as funções de t.

Passo 2

Relembrando os pares e propriedades que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Linearidade: se F(s)=F_1(s)+F_2(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{F_2(s)\}.
  • Pares básicos:
    \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Aqui 1 é a função constante unidade em t.
    \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. O parâmetro a>0 é a frequência da senoide.
    \mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}.
  • Deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a). Isso permite reconhecer razões com (s+a) no numerador e (s+a)^2+b^2 no denominador, que correspondem a e^{-a t}\cos(bt) ou e^{-a t}\sin(bt).
  • Método: decompor cada função racional em termos simples do tipo \dfrac{A}{s} e \dfrac{Bs+C}{\text{quadrática}}á, inverter termo a termo usando os pares acima. Quando aparecer uma quadrática com termo linear, completar o quadrado para identificar a forma (s+a)^2+b^2.

Passo 3

Primeira função: iniciar a decomposição.
Propor a forma
\frac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+1)\) obtemos a identidade polinomial \[s+1 = A\left(s^{2}+1\right) + (Bs+C)s.
Desenvolvendo o lado direito:
s+1 = A s^{2} + A + B s^{2} + C s = (A+B)s^{2} + C s + A.
Comparando coeficientes dos polinômios (coeficiente de s^{2}, de s e termo constante) obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] C=1,\\[4pt] A=1. \end{cases}
Daí A=1\], \(B=-1, C=1.]

Passo 4

Reescrevendo com os valores:
\frac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}=\frac{1}{s}+\frac{-s+1}{s^{2}+1}.
Separando termos:
\frac{-s+1}{s^{2}+1}=-\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{1}{s^{2}+1}.
Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas termo a termo:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\right\}=\operatorname{sen} t.

Passo 5

Montando a inversa da primeira função (somando os termos invertidos):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}=1 - \cos t + \operatorname{sen} t.

Passo 6

Segunda função: começar a decomposição.
Propor
\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+s+1}.
Multiplicando por s(s^{2}+s+1)\): \[s+1 = A\left(s^{2}+s+1\right) + (Bs+C)s.
Expandindo:
s+1 = A s^{2} + A s + A + B s^{2} + C s = (A+B)s^{2} + (A+C)s + A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] A+C=1,\\[4pt] A=1. \end{cases}
Portanto A=1\], \(B=-1, C=0.]

Passo 7

Com os coeficientes encontrados:
\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}=\frac{1}{s}+\frac{-s}{s^{2}+s+1}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+s+1}.
Agora precisamos inverter \dfrac{s}{s^{2}+s+1}. Primeiro completar o quadrado no denominador:
s^{2}+s+1=\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}.
Escrever s como s=(s+\tfrac{1}{2})-\tfrac{1}{2}. Assim
-\frac{s}{s^{2}+s+1} =-\frac{s+\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} +\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.

Passo 8

Identificar as formas de transformada inversa:
  • Para \dfrac{s+\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} temos a forma de \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\} com a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right\} = e^{-\tfrac{t}{2}}\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right).
  • Para \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} observe que o numerador ideal para seno seria b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim escrevemos
\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}.
Portanto, usando \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right\}=e^{-a t}\operatorname{sen}(b t), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}\right\} =\frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{-\tfrac{t}{2}}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right).

Passo 9

Juntando tudo (lembrando do sinal negativo na decomposição):
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • O termo -\dfrac{s}{s^{2}+s+1} virou a soma de -\dfrac{s+\tfrac{1}{2}}{\cdots} e +\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\cdots}, cujas inversas acabamos de obter.
    Portanto a inversa inteira da segunda função é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}\right\} =1+e^{-\tfrac{t}{2}}\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)-\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right].

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}=1+\operatorname{sen}(t)-\cos(t)\newline
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}\right\}=1+e^{-\tfrac{t}{2}}\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)-\cos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}t\right)\right]

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