Pedem as transformadas inversas de duas funções racionais em s:
\dfrac{s+1}{s\left(s^{2}+1\right)}.
\dfrac{s+1}{s\left(s^{2}+s+1\right)}.
Informação dada: cada expressão é uma função racional em s. O objetivo é fazer decomposição em frações parciais (racionais) e aplicar propriedades básicas da transformada inversa de Laplace para obter as funções de t.
Passo 2
Relembrando os pares e propriedades que vamos usar (explicando cada símbolo):
Linearidade: se F(s)=F_1(s)+F_2(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{F_1(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{F_2(s)\}.
Pares básicos: \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Aqui 1 é a função constante unidade em t. \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. O parâmetro a>0 é a frequência da senoide. \mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a). Isso permite reconhecer razões com (s+a) no numerador e (s+a)^2+b^2 no denominador, que correspondem a e^{-a t}\cos(bt) ou e^{-a t}\sin(bt).
Método: decompor cada função racional em termos simples do tipo \dfrac{A}{s} e \dfrac{Bs+C}{\text{quadrática}}, inverter termo a termo usando os pares acima. Quando aparecer uma quadrática com termo linear, completar o quadrado para identificar a forma (s+a)^2+b^2.
Passo 3
Primeira função: iniciar a decomposição.
Propor a forma
Para \dfrac{s+\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} temos a forma de \mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\} com a=\tfrac{1}{2} e b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
Para \dfrac{\tfrac{1}{2}}{\left(s+\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} observe que o numerador ideal para seno seria b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim escrevemos
Juntando tudo (lembrando do sinal negativo na decomposição):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
O termo -\dfrac{s}{s^{2}+s+1} virou a soma de -\dfrac{s+\tfrac{1}{2}}{\cdots} e +\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\cdots}, cujas inversas acabamos de obter.
Portanto a inversa inteira da segunda função é