Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(9 x e^{8 x}+4 x \operatorname{sen}(5 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace
\mathcal{L}\bigl(9\,x\,e^{8x}+4\,x\,\sin(5x)\bigr).
Vamos usar a linearidade de \mathcal{L} e as propriedades básicas:
  1. deslocamento em s para termos e^{ax},
  2. propriedade de derivação para fatores x.

Passo 2

Pela linearidade,
\mathcal{L}\bigl(9\,x\,e^{8x}+4\,x\,\sin(5x)\bigr) =9\,\mathcal{L}\bigl(x\,e^{8x}\bigr) +4\,\mathcal{L}\bigl(x\,\sin(5x)\bigr).

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\bigl(x\,e^{8x}\bigr):
Sabemos que \mathcal{L}(x)=1/s^{2}.
O fator e^{8x} desloca s\to s-8.
Logo,
\mathcal{L}\bigl(x\,e^{8x}\bigr) =\frac{1}{(s-8)^{2}}.
Multiplicando por 9:
9\,\mathcal{L}\bigl(x\,e^{8x}\bigr) =\frac{9}{(s-8)^{2}}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\bigl(x\,\sin(5x)\bigr):
Primeiro, \mathcal{L}\bigl(\sin(5x)\bigr)=\frac{5}{s^{2}+25}.
Pela propriedade de derivação,
\mathcal{L}\bigl(x\,\sin(5x)\bigr) =-\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{5}{s^{2}+25}\Bigr) =-5\cdot\Bigl(-\frac{2s}{(s^{2}+25)^{2}}\Bigr) =\frac{10\,s}{(s^{2}+25)^{2}}.
Multiplicando por 4:
4\,\mathcal{L}\bigl(x\,\sin(5x)\bigr) =\frac{40\,s}{(s^{2}+25)^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\bigl(9\,x\,e^{8x}+4\,x\,\sin(5x)\bigr) =\frac{9}{(s-8)^{2}} +\frac{40\,s}{(s^{2}+25)^{2}}.

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