Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(8 x \cos (8 x)-7 x e^{-9 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
8x\cos(8x)\;-\;7x e^{-9x}.
O conteúdo é transformada de Laplace, usando a linearidade
\mathcal{L}\{a f(x)+b g(x)\}=a\,\mathcal{L}\{f(x)\}+b\,\mathcal{L}\{g(x)\}
e a propriedade de derivação: se \mathcal{L}\{f(x)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{x f(x)\} \;=\;-\,\frac{d}{ds}F(s).

Passo 2

Pela linearidade temos
\mathcal{L}\{8x\cos(8x)-7x e^{-9x}\} =8\,\mathcal{L}\{x\cos(8x)\}-7\,\mathcal{L}\{x e^{-9x}\}.

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{x\cos(8x)\}. Primeiro,
\mathcal{L}\{\cos(8x)\} =\frac{s}{s^2+8^2} =\frac{s}{s^2+64}.
Aplicando \mathcal{L}\{x f(x)\}=-\frac{d}{ds}F(s) obtemos
\mathcal{L}\{x\cos(8x)\} =-\frac{d}{ds}\!\biggl(\frac{s}{s^2+64}\biggr) =-\frac{(s^2+64)-2s^2}{(s^2+64)^2} =\frac{s^2-64}{(s^2+64)^2}.
Multiplicando por 8:
8\,\mathcal{L}\{x\cos(8x)\} =8\;\frac{s^2-64}{(s^2+64)^2}.

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{x e^{-9x}\}. Primeiro,
\mathcal{L}\{e^{-9x}\} =\frac{1}{s+9}.
Usando a derivação:
\mathcal{L}\{x e^{-9x}\} =-\frac{d}{ds}\!\biggl(\frac{1}{s+9}\biggr) =-\bigl(-1\bigr)\frac{1}{(s+9)^2} =\frac{1}{(s+9)^2}.
Multiplicando por 7:
7\,\mathcal{L}\{x e^{-9x}\} =\frac{7}{(s+9)^2}.

Passo 5

Substituindo em (2) obtemos
\mathcal{L}\{8x\cos(8x)-7x e^{-9x}\} =8\;\frac{s^2-64}{(s^2+64)^2} \;-\;\frac{7}{(s+9)^2}.

Resposta

8\,\frac{s^2-64}{(s^2+64)^2} \;-\;\frac{7}{(s+9)^2}.

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