Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(2 e^{-x} x^{2}+9 e^{-x} \operatorname{senh}(3 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(x) = 2 e^{-x} x^{2} \; + \; 9 e^{-x} \operatorname{sinh}(3x).
O conteúdo principal é a transformada de Laplace e, em particular, o Teorema do Deslocamento no Eixo s (ou Primeira Propriedade de Translação):
  • Se \mathcal{L}\{g(x)\}(s)=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{-a x}g(x)\}(s)=G(s+a).
Também vamos usar linearidade: \mathcal{L}\{u+v\}=\mathcal{L}\{u\}+\mathcal{L}\{v\}.

Passo 2

Separamos pela linearidade:
\mathcal{L}\{2 e^{-x} x^{2} + 9 e^{-x} \operatorname{sinh}(3x)\} =2\,\mathcal{L}\{e^{-x} x^{2}\} \;+\;9\,\mathcal{L}\{e^{-x}\operatorname{sinh}(3x)\}.

Passo 3

Para \mathcal{L}\{e^{-x} x^{2}\}: sem o deslocamento,
\mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}.
Pelo deslocamento a=1, trocamos s por s+1:
\mathcal{L}\{e^{-x} x^{2}\}(s) =\frac{2}{(s+1)^{3}}.
Multiplicando pelo fator 2 do enunciado,
2\,\mathcal{L}\{e^{-x} x^{2}\} =\frac{4}{(s+1)^{3}}.

Passo 4

Para \mathcal{L}\{e^{-x}\operatorname{sinh}(3x)\}: primeiro
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(3x)\}(s)=\frac{3}{s^{2}-3^{2}} =\frac{3}{s^{2}-9}.
Aplicando deslocamento a=1:
\mathcal{L}\{e^{-x}\operatorname{sinh}(3x)\}(s) =\frac{3}{(s+1)^{2}-9}.
Multiplicando pelo 9 do enunciado,
9\,\mathcal{L}\{e^{-x}\operatorname{sinh}(3x)\} =\frac{27}{(s+1)^{2}-9}.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
\mathcal{L}\{2 e^{-x} x^{2}+9 e^{-x}\operatorname{sinh}(3x)\}(s) =\frac{4}{(s+1)^{3}} \;+\; \frac{27}{(s+1)^{2}-9}.

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{2 e^{-x} x^{2}+9 e^{-x}\operatorname{sinh}(3x)\}(s) =\frac{4}{(s+1)^{3}} +\frac{27}{(s+1)^{2}-9} }.

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