Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(7 x \operatorname{senh}(8 x)-8 e^{-2 x} x \operatorname{cosh} (6 x)\right)

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada de Laplace de
f(x)=7x\,\operatorname{sinh}(8x)-8e^{-2x}x\,\operatorname{cosh}(6x).
Vamos usar a linearidade de \mathcal{L} e a propriedade
\mathcal{L}\{x\,g(x)\} = -\frac{d}{ds}G(s), onde G(s)=\mathcal{L}\{g(x)\}.

Passo 2

Pela linearidade,
\mathcal{L}\{7x\,\operatorname{sinh}(8x)\} =7\,\mathcal{L}\{x\,\operatorname{sinh}(8x)\}.
Sabemos que
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(8x)\} =\frac{8}{s^2-64}.
Então
\mathcal{L}\{x\,\operatorname{sinh}(8x)\} =-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{8}{s^2-64}\Bigr) =\frac{16s}{(s^2-64)^2}.
Multiplicando por 7,
\mathcal{L}\{7x\,\operatorname{sinh}(8x)\} =\frac{112s}{(s^2-64)^2}.

Passo 3

Para o termo com deslocamento, primeiro calcule
\mathcal{L}\{x\,\operatorname{cosh}(6x)\} =-\frac{d}{ds}\!\Bigl(\frac{s}{s^2-36}\Bigr) =\frac{s^2+36}{(s^2-36)^2}.
Pela regra de deslocamento,
\mathcal{L}\{e^{-2x}x\,\operatorname{cosh}(6x)\} =\left.\frac{s^2+36}{(s^2-36)^2}\right|_{s\to s+2} =\frac{(s+2)^2+36}{\bigl((s+2)^2-36\bigr)^2}.
Multiplicando por 8,
\mathcal{L}\{8e^{-2x}x\,\operatorname{cosh}(6x)\} =\frac{8\bigl((s+2)^2+36\bigr)}{\bigl((s+2)^2-36\bigr)^2}.

Passo 4

Subtraindo as duas partes, obtemos
\mathcal{L}\{7x\,\operatorname{sinh}(8x)-8e^{-2x}x\,\operatorname{cosh}(6x)\} =\frac{112s}{(s^2-64)^2} -\frac{8\bigl((s+2)^2+36\bigr)}{\bigl((s+2)^2-36\bigr)^2}.

Resposta

\frac{112s}{(s^2-64)^2} -\frac{8\bigl((s+2)^2+36\bigr)}{\bigl((s+2)^2-36\bigr)^2}.

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