Calcule a Transformada de Laplace:
\mathcal{L}\left(3 \operatorname{cosh} (4 x) e^{8 x}+4 x \operatorname{cosh} (2 x)\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
3\operatorname{cosh}(4x)e^{8x} \;+\; 4x\operatorname{cosh}(2x).
O conteúdo que vamos usar é: linearidade da transformada, propriedade de deslocamento (para o fator e^{8x}) e a propriedade de derivação em s (para fatores x no tempo).

Passo 2

Pela linearidade de \mathcal{L}, escrevemos
\mathcal{L}\{3\operatorname{cosh}(4x)e^{8x} + 4x\operatorname{cosh}(2x)\} = 3\,\mathcal{L}\{e^{8x}\operatorname{cosh}(4x)\} +4\,\mathcal{L}\{x\operatorname{cosh}(2x)\}.

Passo 3

Primeiro termo: sabemos que
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(4x)\}(s) =\frac{s}{s^{2}-16}.
Pela propriedade de deslocamento,
\mathcal{L}\{e^{8x}\operatorname{cosh}(4x)\}(s) =\frac{s-8}{(s-8)^{2}-16}.
Multiplicando por 3 e expandindo o denominador:
(s-8)^{2}-16 = s^{2}-16s+48,
obtemos
3\,\mathcal{L}\{e^{8x}\operatorname{cosh}(4x)\} = \frac{3\,(s-8)}{s^{2}-16s+48}.

Passo 4

Segundo termo: seja
F(s)=\mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(2x)\}(s) =\frac{s}{s^{2}-4}.
Pela propriedade
\mathcal{L}\{x\,f(x)\}=-F'(s), temos
\mathcal{L}\{x\operatorname{cosh}(2x)\}(s) =-\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^{2}-4}\Bigr).
Calculando a derivada:
\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{s}{s^{2}-4}\Bigr) =\frac{(s^{2}-4)-2s^{2}}{(s^{2}-4)^{2}} =\frac{-\bigl(s^{2}+4\bigr)}{(s^{2}-4)^{2}},
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\mathcal{L}\{x\operatorname{cosh}(2x)\}(s) =-\Bigl(-\frac{s^{2}+4}{(s^{2}-4)^{2}}\Bigr) =\frac{s^{2}+4}{(s^{2}-4)^{2}}.
Multiplicando por 4:
4\,\mathcal{L}\{x\operatorname{cosh}(2x)\} =\frac{4\,(s^{2}+4)}{(s^{2}-4)^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{3\operatorname{cosh}(4x)e^{8x}+4x\operatorname{cosh}(2x)\}(s) = \frac{3\,(s-8)}{s^{2}-16s+48} \;+\; \frac{4\,(s^{2}+4)}{\bigl(s^{2}-4\bigr)^{2}}.

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