Descubra a Transformada Inversa de Laplace:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s^{2}-4 s+5}\right)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s^{2}-4s+5},
ou seja, encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1}{s^{2}-4s+5}.
O conteúdo envolvido é completar o quadrado no denominador e usar o teorema de deslocamento em s.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
s^{2}-4s+5 = (s^{2}-4s+4)+1 = (s-2)^{2}+1.

Passo 3

Reescrevemos a função em s como
\frac{1}{s^{2}-4s+5} = \frac{1}{(s-2)^{2}+1}.

Passo 4

Lembrando a transformada de Laplace básica
\mathcal{L}\{\sin(t)\}=\frac{1}{s^{2}+1},
e o teorema de deslocamento: se
\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}=G(s-a).

Passo 5

No nosso caso, G(s)=1/(s^{2}+1) e G(s-2)=1/[(s-2)^{2}+1]. Logo
\frac{1}{(s-2)^{2}+1} =\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(t)\}.

Resposta

f(t)=e^{2t}\,\sin(t).

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