Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função dada por
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função que queremos transformar é
para . - Queremos
, a transformada de Laplace dessa função (assumindo com parte real suficientemente grande para garantir convergência).
Passo 2
Vamos entender o que é a transformada de Laplace e uma propriedade útil (teorema da convolução).
Definição (o básico que você precisa): a transformada de Laplace de uma função
é
quando essa integral converge.
Teorema da convolução (ferramenta importante): se
e
são funções com transformadas de Laplace, a convolução
definida por
satisfaz
Passo 3
Identifico que a função do enunciado é, na verdade, uma convolução simples. Note que
ou seja,
pois
. Logo podemos usar o teorema da convolução.
Passo 4
Calculo as transformadas separadas que entrarem no produto:
- Para
: calculemos .
Uma forma direta (integrando por partes duas vezes) ou usando exponenciais complexas dá o resultado clássico
válido para
.
- Para a função constante
: temos
válido para
.
Passo 5
Aplicando o teorema da convolução:
Cancelando
(para
, e lembrando da região de convergência
), obtemos
Passo 6
Verificação rápida e macia (útil na prova): pela regra do cálculo (Teorema Fundamental do Cálculo),
E como
, isso confirma o resultado anterior. Bom check!