Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
\int_{0}^{t} \cos (u) d u

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função dada por \displaystyle \int_{0}^{t} \cos(u)\,du.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função que queremos transformar é F(t)=\displaystyle \int_{0}^{t} \cos(u)\,du para t\ge 0.
  • Queremos \mathcal{L}\{F(t)\}(s), a transformada de Laplace dessa função (assumindo s com parte real suficientemente grande para garantir convergência).

Passo 2

Vamos entender o que é a transformada de Laplace e uma propriedade útil (teorema da convolução).
Definição (o básico que você precisa): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
quando essa integral converge.
Teorema da convolução (ferramenta importante): se f e g são funções com transformadas de Laplace, a convolução (f*g)(t) definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(u)\,g(t-u)\,du
satisfaz
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{g\}(s).

Passo 3

Identifico que a função do enunciado é, na verdade, uma convolução simples. Note que
F(t)=\int_{0}^{t} \cos(u)\,du=\int_{0}^{t}\cos(u)\cdot 1\,du,
ou seja,
F(t)=(\cos * 1)(t),
pois (\cos*1)(t)=\int_{0}^{t}\cos(u)\,1\,du. Logo podemos usar o teorema da convolução.

Passo 4

Calculo as transformadas separadas que entrarem no produto:
  1. Para \cos(t): calculemos \mathcal{L}\{\cos(t)\}(s).
    Uma forma direta (integrando por partes duas vezes) ou usando exponenciais complexas dá o resultado clássico
\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
válido para \Re(s)>0.
  1. Para a função constante 1: temos
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s},
válido para \Re(s)>0.

Passo 5

Aplicando o teorema da convolução:
\mathcal{L}\{F(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)\cdot\mathcal{L}\{1\}(s) =\frac{s}{s^{2}+1}\cdot\frac{1}{s}.
Cancelando s (para s\neq 0, e lembrando da região de convergência \Re(s)>0), obtemos
\mathcal{L}\{F(t)\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 6

Verificação rápida e macia (útil na prova): pela regra do cálculo (Teorema Fundamental do Cálculo),
F(t)=\int_{0}^{t}\cos(u)\,du=\sin(t)-\sin(0)=\sin(t).
E como \mathcal{L}\{\sin(t)\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}, isso confirma o resultado anterior. Bom check!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{s^{2}+1}

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