Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S(S-1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{S(S-1)}\right\}.
Informações dadas explicitamente: a função no domínio de S é \dfrac{1}{S(S-1)}. O objetivo é encontrar a função no tempo (função de t) cuja transformada de Laplace é essa expressão.

Passo 2

Vou usar a ideia de convolução: quando uma função no domínio de S é produto de duas transformadas, a inversa é a convolução das inversas individuais. Formalmente, o Teorema da Convolução diz que se
F(S)=F_1(S)\,F_2(S),
e f_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_1(S)\}, f_2(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_2(S)\}, então a inversa de F é a convolução
f(t)=(f_1*f_2)(t)=\int_{0}^{t} f_1(\tau)\,f_2(t-\tau)\,d\tau.
Aqui t é a variável de tempo onde queremos a função final, e \tau é a variável de integração (uma “subposição de tempo” usada na convolução). Essa fórmula é o que vamos aplicar.

Passo 3

Observe que
\frac{1}{S(S-1)}=\frac{1}{S}\cdot\frac{1}{S-1}.
Portanto podemos tomar
F_1(S)=\frac{1}{S},\qquad F_2(S)=\frac{1}{S-1}.
Agora precisamos das inversas individuais. Recordando transformadas básicas:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{S}\quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{S-a}.
Assim
f_1(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\}=1
e
f_2(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S-1}\right\}=e^{t}.
(Em palavras: f_1 é a função constante 1 e f_2 é a exponencial e^{t}.)

Passo 4

Aplicamos a definição da convolução:
f(t)=(f_1*f_2)(t)=\int_{0}^{t} f_1(\tau)\,f_2(t-\tau)\,d\tau.
Substituindo f_1(\tau)=1 e f_2(t-\tau)=e^{\,t-\tau}, obtemos
f(t)=\int_{0}^{t} 1\cdot e^{\,t-\tau}\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{\,t-\tau}\,d\tau.
Agora calculamos essa integral passo a passo. Podemos fatorar e^{t} porque não depende de \tau:
f(t)=e^{t}\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau.
A integral de e^{-\tau} é -e^{-\tau}, portanto
\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = \big[-e^{-\tau}\big]_{0}^{t} = -e^{-t} - (-e^{0}) = 1 - e^{-t}.
Multiplicando por e^{t},
f(t)=e^{t}\big(1 - e^{-t}\big)=e^{t}-1.
Pronto — esse é o resultado obtido via convolução.

Passo 5

(Faço um chequinho rápido para ver se bate com outro método simples.) Pelo método de frações parciais:
\frac{1}{S(S-1)}=\frac{A}{S}+\frac{B}{S-1}.
Resolvendos os coeficientes dá A=-1 e B=1, logo
\frac{1}{S(S-1)}=-\frac{1}{S}+\frac{1}{S-1}.
Aplicando inversa termo a termo:
-\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S-1}\right\} = -1 + e^{t}=e^{t}-1,
o que confere com o resultado por convolução.

Resposta

e^{t}-1

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