Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa
.
Informações dadas explicitamente: a função no domínio de é
. O objetivo é encontrar a função no tempo (função de
) cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Informações dadas explicitamente: a função no domínio de
Passo 2
Vou usar a ideia de convolução: quando uma função no domínio de
é produto de duas transformadas, a inversa é a convolução das inversas individuais. Formalmente, o Teorema da Convolução diz que se
e
,
, então a inversa de
é a convolução
Aqui
é a variável de tempo onde queremos a função final, e
é a variável de integração (uma “subposição de tempo” usada na convolução). Essa fórmula é o que vamos aplicar.
Passo 3
Observe que
Portanto podemos tomar
Agora precisamos das inversas individuais. Recordando transformadas básicas:
Assim
e
(Em palavras:
é a função constante
e
é a exponencial
.)
Passo 4
Aplicamos a definição da convolução:
Substituindo
e
, obtemos
Agora calculamos essa integral passo a passo. Podemos fatorar
porque não depende de
:
A integral de
é
, portanto
Multiplicando por
,
Pronto — esse é o resultado obtido via convolução.
Passo 5
(Faço um chequinho rápido para ver se bate com outro método simples.) Pelo método de frações parciais:
Resolvendos os coeficientes dá
e
, logo
Aplicando inversa termo a termo:
o que confere com o resultado por convolução.