Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa
Informações dadas:
- A expressão no domínio de Laplace é
. - Queremos a função no tempo
cuja transformada de Laplace é essa.
Nenhuma outra informação foi fornecida.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a ideia de convolução porque a expressão
é produto de duas frações simples
e
. A convolução torna o cálculo da transformada inversa simples quando temos um produto de duas transformadas.
Passo 3
Lembrete (Teorema da convolução): se
então
Aqui
e
são as funções no tempo,
é a variável de integração (tempo intermediário) e
é o tempo final onde avaliamos a convolução.
Passo 4
Identificamos as duas partes:
As transformadas inversas conhecidas (fórmulas básicas):
-
, ou seja . Explicação curta: para . -
, logo .
Portanto
Passo 5
Aplicando a definição da convolução:
Fatorando
(não depende de
):
Passo 6
Calcular a integral
por partes.
Escolha:
Escolha:
Então
Isto é
Avaliar de
a
:
Passo 7
Retornando à convolução:
Não simplificamos aqui (manteremos a simplificação final apenas na seção de resposta).
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só para conferir): transformar
de volta deve dar
. De fato,
e ao colocar em denominador comum
obtém-se numerador
, isto é
, confirmando consistência.