Determine as seguintes transformadas inversas usando a ideia de convoluções:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}(S-1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{S^{2}(S-1)}\right\}.
Informações dadas:
  • A expressão no domínio de Laplace é \dfrac{1}{S^{2}(S-1)}.
  • Queremos a função no tempo t cuja transformada de Laplace é essa.
    Nenhuma outra informação foi fornecida.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a ideia de convolução porque a expressão \dfrac{1}{S^{2}(S-1)} é produto de duas frações simples \dfrac{1}{S^{2}} e \dfrac{1}{S-1}. A convolução torna o cálculo da transformada inversa simples quando temos um produto de duas transformadas.

Passo 3

Lembrete (Teorema da convolução): se
F(S)=\mathcal{L}\{f(t)\},\qquad G(S)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(S)G(S)\}=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Aqui f e g são as funções no tempo, \tau é a variável de integração (tempo intermediário) e t é o tempo final onde avaliamos a convolução.

Passo 4

Identificamos as duas partes:
F(S)=\frac{1}{S^{2}},\qquad G(S)=\frac{1}{S-1}.
As transformadas inversas conhecidas (fórmulas básicas):
  • \mathcal{L}\{t\}=\dfrac{1}{S^{2}}, ou seja \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{S^{2}}\}=t. Explicação curta: \mathcal{L}\{t\}=\int_{0}^{\infty}te^{-St}dt=\dfrac{1}{S^{2}} para \Re(S)>0.
  • \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{S-a}, logo \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{S-1}\}=e^{t}.
Portanto
f(t)=t,\qquad g(t)=e^{t}.

Passo 5

Aplicando a definição da convolução:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} \tau \, e^{\,t-\tau}\,d\tau.
Fatorando e^{t} (não depende de \tau):
(f*g)(t)=e^{t}\int_{0}^{t} \tau e^{-\tau}\,d\tau.

Passo 6

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{t}\tau e^{-\tau}\,d\tau por partes.
Escolha:
u=\tau\quad\Rightarrow\quad du=d\tau,
dv=e^{-\tau}d\tau\quad\Rightarrow\quad v=-e^{-\tau}.
Então
\int \tau e^{-\tau}d\tau = uv - \int v\,du = -\tau e^{-\tau} - \int(-e^{-\tau})d\tau = -\tau e^{-\tau} - e^{-\tau} + C.
Isto é
\int \tau e^{-\tau}d\tau = -(\tau+1)e^{-\tau} + C.
Avaliar de 0 a t:
\int_{0}^{t}\tau e^{-\tau}d\tau = \big[-(\tau+1)e^{-\tau}\big]_{0}^{t} = - (t+1)e^{-t} - \big(-1\big) = 1 - (t+1)e^{-t}.

Passo 7

Retornando à convolução:
(f*g)(t)=e^{t}\big(1 - (t+1)e^{-t}\big).
Não simplificamos aqui (manteremos a simplificação final apenas na seção de resposta).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só para conferir): transformar \;e^{t}-t-1\; de volta deve dar \dfrac{1}{S^{2}(S-1)}. De fato,
\mathcal{L}\{e^{t}-t-1\}=\frac{1}{S-1}-\frac{1}{S^{2}}-\frac{1}{S},
e ao colocar em denominador comum \,S^{2}(S-1)\, obtém-se numerador 1, isto é \dfrac{1}{S^{2}(S-1)}, confirmando consistência.

Resposta

e^{t}-t-1

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