Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
\int_{0}^{t} u e^{t-u} d u

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função dada pela convolução
\int_{0}^{t} u\,e^{t-u}\,du.
Informações importantes que temos:
  • A integral vai de 0 a t.
  • O integrando é u\,e^{t-u}.
  • A tarefa é obter \mathcal{L}\{\cdot\}(s), ou seja, a transformada de Laplace da função do tempo dada por essa integral.

Passo 2

Reconhecendo que a integral está no formato de convolução. Lembre-se da definição de convolução causal:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(u)\,g(t-u)\,du.
Aqui podemos identificar
f(u)=u\quad\text{e}\quad g(t)=e^{t},
pois g(t-u)=e^{t-u}. Portanto a função dada é (f*g)(t) com f(t)=t e g(t)=e^{t}.

Passo 3

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e calcular as transformadas de f e g.
Definição:
\mathcal{L}\{h\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} h(t)\,dt,
quando essa integral converge.
Calculemos F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) para f(t)=t.
Usamos integração por partes. Tome u=t e dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt = \left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
O termo de fronteira é zero para \Re(s)>0. A integral restante é \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}. Portanto
F(s)=\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\qquad(\Re(s)>0).
Agora G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) para g(t)=e^{t}:
\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt=\frac{1}{s-1},
desde que \Re(s)>1. Logo
G(s)=\frac{1}{s-1}\qquad(\Re(s)>1).

Passo 4

Aplicando o teorema da transformada de Laplace para convolução (convolução no tempo vira produto no domínio de s):
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=F(s)\,G(s).
Substituindo F(s) e G(s) obtidos:
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} u\,e^{t-u}\,du\right\}(s) = \frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s-1}.
A região de convergência é \Re(s)>1, porque G(s) exige isso.

Passo 5

(Faço aqui um cálculo direto no domínio do tempo para reforçar o entendimento e conferir o resultado.)
Primeiro calcule a função no tempo explicitamente:
\int_{0}^{t} u\,e^{t-u}\,du = e^{t}\int_{0}^{t} u e^{-u}\,du.
Calcule \int_{0}^{t} u e^{-u}\,du por partes: tome a=u, db=e^{-u}du. Então da=du, b=-e^{-u}. Assim
\int u e^{-u}\,du = -u e^{-u} - e^{-u} + C.
Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t} u e^{-u}\,du = \big(-t e^{-t}-e^{-t}\big) - \big(0-1\big) = 1 - e^{-t}(1+t).
Multiplicando por e^{t}:
\int_{0}^{t} u\,e^{t-u}\,du = e^{t}\big(1 - e^{-t}(1+t)\big) = e^{t} - 1 - t.
Agora aplicamos a transformada de Laplace termo a termo (lembrando as transformadas básicas):
\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1},\qquad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{t}-1-t\}(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}.
Fazendo a soma em uma única fração obtém-se o mesmo resultado que veio do produto F(s)G(s).

Passo 6

Resumo e observação final: pela propriedade de convolução e também confirmado pelo cálculo direto, a transformada de Laplace da função dada é a fração obtida no Passo 4, válida para \Re(s)>1.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{s^{2}(s-1)}

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