Calcule a transformada de Laplace das seguintes convoluções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função dada pela convolução
Informações importantes que temos:
- A integral vai de
a . - O integrando é
. - A tarefa é obter
, ou seja, a transformada de Laplace da função do tempo dada por essa integral.
Passo 2
Reconhecendo que a integral está no formato de convolução. Lembre-se da definição de convolução causal:
Aqui podemos identificar
pois
. Portanto a função dada é
com
e
.
Passo 3
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e calcular as transformadas de
e
.
Definição:
quando essa integral converge.
Calculemos
para
.
Usamos integração por partes. Tome e
. Então
e
. Assim
Usamos integração por partes. Tome
O termo de fronteira é zero para
. A integral restante é
. Portanto
Agora
para
:
desde que
. Logo
Passo 4
Aplicando o teorema da transformada de Laplace para convolução (convolução no tempo vira produto no domínio de
):
Substituindo
e
obtidos:
A região de convergência é
, porque
exige isso.
Passo 5
(Faço aqui um cálculo direto no domínio do tempo para reforçar o entendimento e conferir o resultado.)
Primeiro calcule a função no tempo explicitamente:
Calcule
por partes: tome
,
. Então
,
. Assim
Avaliando de
a
:
Multiplicando por
:
Agora aplicamos a transformada de Laplace termo a termo (lembrando as transformadas básicas):
Portanto
Fazendo a soma em uma única fração obtém-se o mesmo resultado que veio do produto
.
Passo 6
Resumo e observação final: pela propriedade de convolução e também confirmado pelo cálculo direto, a transformada de Laplace da função dada é a fração obtida no Passo 4, válida para
.