Calcule a transformada de Laplace mathscrL(f(t)) das seguintes funções.
f(t)=lll sen t & se & 0 <= t<pi 0 & se & t >= pi

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)= sin t,&0<= t<pi, 0,&t>=pi,
e pede sua transformada de Laplace mathscrLf(t)(s). Vamos usar a definição
mathscrLf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e notar que, como f(t)=0 para t>=pi, o integral se reduz de 0 a pi.

Passo 2

Pela definição,
mathscrLf(t)(s) =integral0^inftye^-stf(t),dt =integral0^pie^-stsin t,dt

Passo 3

Para achar
integral e^-stsin t,dt
fazemos integração por partes ou recorremos a uma antiderivada conhecida. O resultado é
integral e^-stsin t,dt =-e^-sts^2+1l(ssin t+cos tr)+C

Passo 4

Avaliamo-la de t=0 a t=pi:
em t=pi temos sinpi=0, cospi=-1, então
-e^-spis^2+1l(scdot0+(-1)r) =e^-spis^2+1
em t=0 temos sin0=0, cos0=1, então
-e^0s^2+1l(scdot0+1r) =-1s^2+1
A diferença (valor em pi menos valor em 0) é
e^-spis^2+1-l(-1s^2+1r) =e^-spi+1s^2+1

Resposta

mathscrLf(t)(s) =1+e^-spis^2+1

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