Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo, utilizando propriedades como derivação, convolução ou translação, quando necessário:
h(t)=e^{2 t} \cos (3 t)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Função dada: h(t)=e^{2 t}\cos(3 t) para t\ge 0.
  • Pedido: determinar a Transformada de Laplace de h(t), ou seja calcular \mathcal{L}\{h(t)\}(s).
  • Não há mais dados numéricos; espera-se dar a expressão em função de s e indicar a região de convergência (quando aplicável).

Passo 2

Lembrete da definição da Transformada de Laplace (para eu e você fixarmos bem a ideia):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e essa integral converge para valores de s com parte real suficientemente grande. Vamos usar essa definição quando necessário e também propriedades úteis que tornam a conta mais curta.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a Transformada de Laplace de \cos(3t). Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(3t)\,dt,
supondo inicialmente \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência. Vou calcular I(s) por partes (duas vezes) e resolver uma equação para I.
Faça integração por partes: escolha u=\cos(3t) e dv=e^{-s t}dt. Então du=-3\sin(3t)\,dt e v=-\dfrac{e^{-s t}}{s}. Aplicando a fórmula \int u\,dv=[uv]_0^\infty-\int v\,du,
I(s)=\left[-\frac{e^{-s t}\cos(3t)}{s}\right]_0^\infty - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)\left(-3\sin(3t)\right)dt.
Avalie o termo de borda: como \operatorname{Re}(s)>0, e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty; em t=0 temos \cos(0)=1. Assim o termo de borda vale 0-(-1/s)=1/s. O integral restante é
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(3t)\,dt.
Denote J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(3t)\,dt. Agora calcule J(s) por partes da mesma forma: escolha u=\sin(3t), dv=e^{-s t}dt. Então du=3\cos(3t)\,dt, v=-\dfrac{e^{-s t}}{s}. Assim
J(s)=\left[-\frac{e^{-s t}\sin(3t)}{s}\right]_0^\infty - \int_{0}^{\infty}\left(-\frac{e^{-s t}}{s}\right)3\cos(3t)\,dt.
O termo de borda é zero (pois \sin(0)=0 e o termo no infinito é zero). Logo
J(s)=\frac{3}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(3t)\,dt=\frac{3}{s}I(s).
Substitua J(s) na expressão de I(s):
I(s)=\frac{1}{s}-\frac{3}{s}\cdot\frac{3}{s}I(s)=\frac{1}{s}-\frac{9}{s^{2}}I(s).
Coloque os termos com I(s) no mesmo lado:
I(s)\left(1+\frac{9}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}.
Resolva para I(s):
I(s)=\frac{1/s}{1+9/s^{2}}=\frac{s}{s^{2}+9}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+9},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 4

Agora usamos a propriedade de translação na variável s (propriedade do fator exponencial no tempo). A propriedade é:
se \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s), então, para todo a\in\mathbb{C},
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Prova rápida dessa propriedade (apenas para fixar): pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{a t}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}f(t)\,dt=F(s-a).
A condição de convergência se desloca: se F(s) converge para \operatorname{Re}(s)>\sigma_0, então \mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a) converge para \operatorname{Re}(s-a)>\sigma_0, ou seja \operatorname{Re}(s)>\sigma_0+\operatorname{Re}(a).

Passo 5

Aplique a propriedade ao nosso caso. Tomamos f(t)=\cos(3t) com F(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9}. Aqui a=2. Assim
\mathcal{L}\{e^{2t}\cos(3t)\}(s)=F(s-2)=\frac{s-2}{(s-2)^{2}+9}.
A região de convergência desloca-se para \operatorname{Re}(s)>2 (já que para \cos(3t) era \operatorname{Re}(s)>0).

Passo 6

Resumo curto e uma checagem mental: poderia também calcular diretamente a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{2t}\cos(3t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-2)t}\cos(3t)\,dt
e obter exatamente a mesma expressão, desde que \operatorname{Re}(s-2)>0, i.e. \operatorname{Re}(s)>2. Então a resposta bate por dois caminhos (propriedade de translação e cálculo direto).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{h(t)\}(s)=\frac{s-2}{(s-2)^{2}+9},\quad \operatorname{Re}(s)>2

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