Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo, utilizando propriedades como derivação, convolução ou translação, quando necessário:
Determine a Transformada de Laplace das funções abaixo, utilizando propriedades como derivação, convolução ou translação, quando necessário:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Função dada:
para . - Pedido: determinar a Transformada de Laplace de
, ou seja calcular . - Não há mais dados numéricos; espera-se dar a expressão em função de
e indicar a região de convergência (quando aplicável).
Passo 2
Lembrete da definição da Transformada de Laplace (para eu e você fixarmos bem a ideia):
onde
é uma variável complexa e essa integral converge para valores de
com parte real suficientemente grande. Vamos usar essa definição quando necessário e também propriedades úteis que tornam a conta mais curta.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a Transformada de Laplace de
. Defina
supondo inicialmente
para garantir convergência. Vou calcular
por partes (duas vezes) e resolver uma equação para
.
Faça integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
Avalie o termo de borda: como
,
quando
; em
temos
. Assim o termo de borda vale
. O integral restante é
Denote
. Agora calcule
por partes da mesma forma: escolha
,
. Então
,
. Assim
O termo de borda é zero (pois
e o termo no infinito é zero). Logo
Substitua
na expressão de
:
Coloque os termos com
no mesmo lado:
Resolva para
:
Portanto
Passo 4
Agora usamos a propriedade de translação na variável
(propriedade do fator exponencial no tempo). A propriedade é:
se
, então, para todo
,
Prova rápida dessa propriedade (apenas para fixar): pela definição,
A condição de convergência se desloca: se
converge para
, então
converge para
, ou seja
.
Passo 5
Aplique a propriedade ao nosso caso. Tomamos
com
. Aqui
. Assim
A região de convergência desloca-se para
(já que para
era
).
Passo 6
Resumo curto e uma checagem mental: poderia também calcular diretamente a integral
e obter exatamente a mesma expressão, desde que
, i.e.
. Então a resposta bate por dois caminhos (propriedade de translação e cálculo direto).