Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função
As perguntas que devemos responder são: qual é
?
Informações dadas e constantes que vamos usar:
Informações dadas e constantes que vamos usar:
- o termo seno com frequência
: ; - o termo cosseno com frequência
e coeficiente : .
Passo 2
Definição e ideia principal (aula rápida, com calma):
- A Transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
com parte real suficientemente grande (vamos indicar depois a condição de convergência).
- Propriedade importante (linearidade): para quaisquer constantes
e funções ,
Isso permite quebrar
em duas partes e transformar cada uma separadamente.
Passo 3
Aplicando a linearidade à nossa função:
Agora precisamos calcular
e
em geral e depois substituir
e
.
Passo 4
Cálculo detalhado de
(derivação passo a passo usando integração por partes):
Defina
Defina
com a condição de convergência eventual
(para que
faça a integral convergir).
Primeira integração por partes: escreva e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
:
Primeira integração por partes: escreva
O termo de contorno vale zero porque, para
,
tende a
mais rápido que
oscila, e em
temos
. Assim
onde definimos
Agora calcule
por integração por partes também: escolha
,
. Então
e
. Assim
O termo de contorno agora é
(pois
e o limite no infinito é zero), logo
Substituindo
em
obtemos
Agrupando os termos com
:
Portanto, para
,
Passo 5
Cálculo de
a partir das expressões anteriores:
Usando a relação que encontramos para ,
Usando a relação que encontramos para
Substituindo
dá
Portanto, para
,
Passo 6
Agora aplique as fórmulas aos nossos valores concretos:
- Para
(aqui ):
- Para
(aqui ):
Como havia um fator
multiplicando o cosseno, multiplicamos por
:
Passo 7
Somando as duas partes (pela linearidade):
válido para
.