Calcule a Transformada de Laplace das seguintes funções:
g(t)=\sin (5 t)+4 \cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a Transformada de Laplace da função
g(t)=\sin(5t)+4\cos(2t).
As perguntas que devemos responder são: qual é \mathcal{L}\{g(t)\}(s)?
Informações dadas e constantes que vamos usar:
  • o termo seno com frequência 5: \sin(5t);
  • o termo cosseno com frequência 2 e coeficiente 4: 4\cos(2t).

Passo 2

Definição e ideia principal (aula rápida, com calma):
  • A Transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s com parte real suficientemente grande (vamos indicar depois a condição de convergência).
  • Propriedade importante (linearidade): para quaisquer constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
Isso permite quebrar g(t) em duas partes e transformar cada uma separadamente.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa função:
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(5t)\}(s)+4\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).
Agora precisamos calcular \mathcal{L}\{\sin(at)\} e \mathcal{L}\{\cos(at)\} em geral e depois substituir a=5 e a=2.

Passo 4

Cálculo detalhado de \mathcal{L}\{\sin(at)\} (derivação passo a passo usando integração por partes):
Defina
I=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt,
com a condição de convergência eventual \Re(s)>0 (para que e^{-st} faça a integral convergir).
Primeira integração por partes: escreva u=\sin(at) e dv=e^{-st}dt. Então du=a\cos(at)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
I=\left[ -\frac{e^{-st}}{s}\sin(at)\right]_0^{\infty} + \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt.
O termo de contorno vale zero porque, para \Re(s)>0, e^{-st} tende a 0 mais rápido que \sin(at) oscila, e em t=0 temos \sin(0)=0. Assim
I=\frac{a}{s}J,
onde definimos
J=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt.
Agora calcule J por integração por partes também: escolha u=\cos(at), dv=e^{-st}dt. Então du=-a\sin(at)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
J=\left[-\frac{e^{-st}}{s}\cos(at)\right]_0^{\infty} - \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt.
O termo de contorno agora é 1/s (pois \cos(0)=1 e o limite no infinito é zero), logo
J=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}I.
Substituindo J em I=\dfrac{a}{s}J obtemos
I=\frac{a}{s}\left(\frac{1}{s}-\frac{a}{s}I\right)=\frac{a}{s^{2}}-\frac{a^{2}}{s^{2}}I.
Agrupando os termos com I:
I\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{a}{s^{2}} \quad\Rightarrow\quad I=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto, para \Re(s)>0,
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \mathcal{L}\{\cos(at)\} a partir das expressões anteriores:
Usando a relação que encontramos para J,
J=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}I.
Substituindo I=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}
J=\frac{1}{s}-\frac{a}{s}\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}} =\frac{1}{s}-\frac{a^{2}}{s(s^{2}+a^{2})} =\frac{s^{2}+a^{2}-a^{2}}{s(s^{2}+a^{2})} =\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto, para \Re(s)>0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 6

Agora aplique as fórmulas aos nossos valores concretos:
  • Para \sin(5t) (aqui a=5):
\mathcal{L}\{\sin(5t)\}(s)=\frac{5}{s^{2}+25}.
  • Para \cos(2t) (aqui a=2):
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.
Como havia um fator 4 multiplicando o cosseno, multiplicamos por 4:
4\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{4s}{s^{2}+4}.

Passo 7

Somando as duas partes (pela linearidade):
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\frac{5}{s^{2}+25}+\frac{4s}{s^{2}+4},
válido para \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\frac{5}{s^{2}+25}+\frac{4s}{s^{2}+4}
\text{para }\Re(s)>0

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