O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais com condições iniciais e pede a solução que satisfaça essas condições. Informações fornecidas:
Ou seja, queremos encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem o sistema acima para todo t e que passam pelos valores iniciais dados quando t=0.]
Passo 2
Primeiro é útil escrever o sistema em forma matricial para organizar as ideias. Definimos o vetor \mathbf{u}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix} e a matriz de coeficientes
Agora a ideia (explicando o porquê): se existir um vetor não-nulo \mathbf{v} e escalar \lambda tais que A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} (ou seja, \mathbf{v} é autovetor e \lambda autovalor), então a função \mathbf{u}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} satisfaz \mathbf{u}'(t)=\lambda e^{\lambda t}\mathbf{v}=A(e^{\lambda t}\mathbf{v})=A\mathbf{u}(t). Assim soluções do tipo e^{\lambda t}\mathbf{v} aparecem naturalmente. Se encontrarmos dois autovetores linearmente independentes, a combinação linear desses exponenciais gera a solução geral. Então precisamos achar autovalores e autovetores de A.]
Passo 3
Encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calculamos
Os autovetores \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são linearmente independentes, então podemos escrever a solução geral como combinação linear dos modos exponenciais correspondentes.]