Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções: f(t)=\cos (2 t)+t^{2}
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a transformada de Laplace da função
f(t)=\cos(2t)+t^{2}.
Informações e o que se espera: \;f(t) está dada para t\ge 0 (pressuposto padrão para transformada de Laplace). O objetivo é encontrar a função F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja, a transformada de Laplace dessa soma de funções.
Passo 2
Definição e propriedade que vamos usar (explicação didática):
A transformada de Laplace de uma função g(t) é definida por
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s com parte real suficientemente grande. Aqui, \operatorname{Re}(s) representa a parte real de s.
Uma propriedade fundamental e muito útil é a linearidade:
Cada integral é uma integral exponencial impropria do tipo \int_{0}^{\infty} e^{-at}\,dt com a=s\mp i2. Para \operatorname{Re}(s)>0 temos convergência e
Análises dos termos de fronteira: para \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-s t}\to 0 quando t\to\infty suficientemente rápido, e no t=0 o termo é zero. Logo o termo de fronteira é zero e resta