Calcule a transformada Z de \boldsymbol{y}[\boldsymbol{n}]=\boldsymbol{u}[\boldsymbol{n}] \cdot \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{k} \boldsymbol{n} (Dica: use a identidade de Euler).

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z de
y[n]=u[n]\cos(k n),
onde u[n] é o degrau unitário. Vamos usar a definição
Y(z)=\sum_{n=0}^{\infty}y[n]\,z^{-n}
e a identidade de Euler para \cos(kn).

Passo 2

Aplicando a identidade de Euler, escrevemos
\cos(k n)=\frac{e^{jkn}+e^{-jkn}}{2}.

Passo 3

Substituindo na soma da transformada:
Y(z) =\sum_{n=0}^{\infty}u[n]\cos(k n)\,z^{-n} =\frac12\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(e^{jkn}+e^{-jkn}\bigr)z^{-n} =\frac12\bigl(S_{+}+S_{-}\bigr),
onde
S_{+}=\sum_{n=0}^{\infty}(e^{jk}z^{-1})^{n}, \quad S_{-}=\sum_{n=0}^{\infty}(e^{-jk}z^{-1})^{n}.

Passo 4

Cada série geométrica converge para |z|>1 e vale
S_{+}=\frac{1}{1-e^{jk}z^{-1}}, \quad S_{-}=\frac{1}{1-e^{-jk}z^{-1}}.

Passo 5

Logo
Y(z) =\frac12\Bigl(\frac{1}{1-e^{jk}z^{-1}}+\frac{1}{1-e^{-jk}z^{-1}}\Bigr).
Escrevendo cada termo como z/(z-e^{\pm jk}) e combinando em denominador comum, chega-se a
Y(z) =\frac{z\,(z-\cos k)}{z^{2}-2z\cos k+1}.

Passo 6

A região de convergência é
|z|>1.

Resposta

Y(z)=\frac{z\,(z-\cos k)}{z^{2}-2z\cos k+1},\quad\text{ROC: }|z|>1.

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