Resolver os seguintes exercícios a mão livre:
Sendo x um arco com extremidade no segundo quadrante e
\operatorname{sec} (x)=-5 / 3
, então
5 \operatorname{sen}^{2} x-3 \operatorname{tg}(x)
é igual a:

Passo 1

O enunciado nos dá um ângulo x cujo terminal está no segundo quadrante e informa que
\operatorname{sec}(x) = -\tfrac{5}{3}.
Como estamos em trigonometria de ângulo e conhecemos a definição de secante, vamos usar as identidades
\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)} e
\sin^2(x)+\cos^2(x)=1
para encontrar \cos(x), \sin(x) e \tan(x), e assim calcular a expressão
5\,\sin^2(x)\;-\;3\,\tan(x).

Passo 2

Da definição \operatorname{sec}(x)=1/\cos(x), temos
\frac{1}{\cos(x)} = -\tfrac{5}{3} \quad\Longrightarrow\quad \cos(x) = -\tfrac{3}{5}.
No segundo quadrante, \cos(x) é negativo, o que confere.

Passo 3

Usando a identidade pitagórica
\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1
substituímos \cos^2(x) = \bigl(-\tfrac{3}{5}\bigr)^2 = \tfrac{9}{25}, logo
\sin^2(x) = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}.
Como x está no segundo quadrante, \sin(x) é positivo, então
\sin(x) = \tfrac{4}{5}.

Passo 4

Calculamos \tan(x) pela razão \sin(x)/\cos(x):
\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\tfrac{4}{5}}{-\tfrac{3}{5}} = -\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Agora substituímos \sin^2(x)=\tfrac{16}{25} e \tan(x)=-\tfrac{4}{3} na expressão
5\,\sin^2(x)\;-\;3\,\tan(x).
Temos
5\cdot\tfrac{16}{25} \;-\;3\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) =\tfrac{80}{25} + 4 =\tfrac{16}{5} + \tfrac{20}{5} =\tfrac{36}{5}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{36}{5}

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