Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
Passo 1
O enunciado pede para identificarmos a superfície dada por
e esboçarmos seu gráfico. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas, em particular hiperbóloides.
Passo 2
Reescrevemos em forma canônica dividindo ambos os lados por
:
Reagrupando os termos positivos em primeiro lugar, fica
Passo 3
Na forma
vemos que há um só termo ao quadrado com coeficiente positivo (
) e dois termos com coeficiente negativo (
e
). Isso caracteriza um hiperbóloide de duas folhas.
Passo 4
Para entender a forma do gráfico, analisamos seções:
- Seção por
: Só existem pontos se , ou seja . Para cada a seção é elipse em – . - Seção por
: que é uma hipérbole no plano – . - Seção por
: outra hipérbole no plano – .
Passo 5
Das seções concluímos que a superfície é composta por duas “folhas” desconexas:
- Uma para
, - Outra para
,
cada uma abrindo-se indefinidamente em direção aos eixos
e
, com seção transversal elíptica.
Resposta
A superfície é um hiperbóloide de duas folhas orientado ao longo do eixo
. O esboço consiste em duas “tacinhas” simétricas, uma para
e outra para
, cujas seções por planos
constante são elipses.