Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
-4 x^{2}+y^{2}-4 z^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos a superfície dada por
-4x^{2} + y^{2} - 4z^{2} = 4
e esboçarmos seu gráfico. O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas, em particular hiperbóloides.

Passo 2

Reescrevemos em forma canônica dividindo ambos os lados por 4:
- x^{2} + \frac{y^{2}}{4} - z^{2} = 1.
Reagrupando os termos positivos em primeiro lugar, fica
\frac{y^{2}}{2^{2}} \;-\; \frac{x^{2}}{1} \;-\; \frac{z^{2}}{1} \;=\; 1.

Passo 3

Na forma
\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{1} - \frac{z^{2}}{1} = 1
vemos que há um só termo ao quadrado com coeficiente positivo ( y^{2}) e dois termos com coeficiente negativo ( x^{2} e z^{2}). Isso caracteriza um hiperbóloide de duas folhas.

Passo 4

Para entender a forma do gráfico, analisamos seções:
  1. Seção por y = \text{constante}: \frac{y^{2}}{4} - 1 = \frac{x^{2}}{1} + \frac{z^{2}}{1}.Só existem pontos se \frac{y^{2}}{4}-1 \ge 0, ou seja |y|\ge 2. Para cada |y|\ge2 a seção é elipse em x z.
  2. Seção por x=0: \frac{y^{2}}{4} - z^{2} = 1,que é uma hipérbole no plano y z.
  3. Seção por z=0: \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1,outra hipérbole no plano y x.

Passo 5

Das seções concluímos que a superfície é composta por duas “folhas” desconexas:
  • Uma para y\ge 2,
  • Outra para y\le -2,
cada uma abrindo-se indefinidamente em direção aos eixos x e z, com seção transversal elíptica.

Resposta

A superfície é um hiperbóloide de duas folhas orientado ao longo do eixo y. O esboço consiste em duas “tacinhas” simétricas, uma para y\ge2 e outra para y\le -2, cujas seções por planos y= constante são elipses.

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