Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas (quadricas) em
. Para resolver, vamos escrever a equação em forma canônica, reconhecer o tipo de superfície e usar seções planas para orientar o esboço.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma polinomial padrão, temos
Esse é um polinômio homogêneo de grau 2, logo representa uma superfície quádrupla centrada na origem.
Passo 3
A forma
possui uma única parte positiva (
) e duas partes negativas (
e
). Isso caracteriza um cone duplo com eixo ao longo de
. Como em cada plano
a seção é
que é uma elipse, concluímos que é um cone de seção elíptica.
Passo 4
Para orientar o desenho, examinamos as interseções com planos coordenados:
- No plano
: São duas retas que formam as geratrizes do cone na “faixa” . - No plano
: São outras duas retas geratrizes no “molde” .
Passo 5
Com essas geratrizes, o esboço fica assim:
- Um cone duplo com vértice na origem, aberto para
e para . - Na seção
, as arestas seguem . - Na seção
, as arestas seguem .
Em perspectiva, desenhe o eixo
horizontal, o eixo
saindo para a direita e o eixo
subindo. Marque as quatro retas descritas e trace suavemente o “duplo cone” passando por elas.
Resposta
A superfície é um cone duplo de seção elíptica, com eixo no eixo
, definido por
O esboço consiste em dois cones com vértice na origem, abertos nos sentidos positivo e negativo de
, cujas geratrizes são dadas por
(quando
) e
(quando
).