Identifique e esboce o gráfico de cada superfície.
x^{2}=y^{2}+4 z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície dada por
x^{2} = y^{2} + 4\,z^{2}.
O conteúdo é classificação de superfícies quadráticas (quadricas) em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos escrever a equação em forma canônica, reconhecer o tipo de superfície e usar seções planas para orientar o esboço.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma polinomial padrão, temos
x^{2} - y^{2} - 4\,z^{2} = 0.
Esse é um polinômio homogêneo de grau 2, logo representa uma superfície quádrupla centrada na origem.

Passo 3

A forma x^{2} - y^{2} - 4z^{2}=0 possui uma única parte positiva ( x^{2}) e duas partes negativas ( y^{2} e 4z^{2}). Isso caracteriza um cone duplo com eixo ao longo de x. Como em cada plano x=k\neq0 a seção é
y^{2} + 4z^{2} = k^{2},
que é uma elipse, concluímos que é um cone de seção elíptica.

Passo 4

Para orientar o desenho, examinamos as interseções com planos coordenados:
  • No plano z=0: x^{2} = y^{2}\quad\Longrightarrow\quad y = \pm x.São duas retas que formam as geratrizes do cone na “faixa” z=0.
  • No plano y=0: x^{2} = 4z^{2}\quad\Longrightarrow\quad z = \pm \tfrac{x}{2}.São outras duas retas geratrizes no “molde” y=0.

Passo 5

Com essas geratrizes, o esboço fica assim:
  • Um cone duplo com vértice na origem, aberto para x>0 e para x<0.
  • Na seção z=0, as arestas seguem y=\pm x.
  • Na seção y=0, as arestas seguem z=\pm \tfrac{x}{2}.
Em perspectiva, desenhe o eixo x horizontal, o eixo y saindo para a direita e o eixo z subindo. Marque as quatro retas descritas e trace suavemente o “duplo cone” passando por elas.

Resposta

A superfície é um cone duplo de seção elíptica, com eixo no eixo x, definido por
x^{2} = y^{2} + 4\,z^{2}.
O esboço consiste em dois cones com vértice na origem, abertos nos sentidos positivo e negativo de x, cujas geratrizes são dadas por y=\pm x (quando z=0) e z=\pm \tfrac{x}{2} (quando y=0).

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