Calcule as transformadas abaixo: (Use a tabela)
f(t)=-4 t^{2}+16 t+9;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a transformada de Laplace da função
f(t) = -4\,t^{2} + 16\,t + 9.
Informações dadas:
\text{função: }f(t)=-4\,t^{2}+16\,t+9.çã
Pergunta: determinar \mathcal{L}\{f(t)\}(s), a transformada de Laplace da função acima (assumindo t\ge 0).

Passo 2

Primeiro, o que é a transformada de Laplace? É a integral (definição)
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa e, para funções polinomiais como a do enunciado, a integral converge para \operatorname{Re}(s)>0.
Uma propriedade fundamental que vamos usar é a linearidade da transformada:
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s),
para constantes a,b. Isso permite tratar termo a termo o polinômio.

Passo 3

Usando a tabela padrão de transformadas (a que o professor quer que usemos), temos fórmulas úteis:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},
e, para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdots1 e por convenção 0!=1. Aplicando essas fórmulas aos nossos termos:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}},
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}},
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}.

Passo 4

(se você quiser ver por que \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=2/s^{3}, aqui está uma demonstração curta por partes)
Calcule
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t^{2}, dv=e^{-s t}dt du=2t\,dt, v=-\frac{1}{s}e^{-s t}. Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt = \left. -\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right|_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira é zero para \operatorname{Re}(s)>0. Repetindo integração por partes em \int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt obtemos \frac{1}{s^{2}}. Logo
\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt=\frac{2}{s^{3}}.
Isso confirma a fórmula da tabela.

Passo 5

Agora aplico linearidade à função f(t)=-4\,t^{2}+16\,t+9:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = -4\,\mathcal{L}\{t^{2}\}(s) + 16\,\mathcal{L}\{t\}(s) + 9\,\mathcal{L}\{1\}(s).
Substituindo os valores da tabela (Passo 3):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = -4\cdot\frac{2}{s^{3}} + 16\cdot\frac{1}{s^{2}} + 9\cdot\frac{1}{s}.

Passo 6

Faço as contas term a termo:
-4\cdot\frac{2}{s^{3}} = -\frac{8}{s^{3}}, \qquad 16\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{16}{s^{2}}, \qquad 9\cdot\frac{1}{s}=\frac{9}{s}.
Portanto a transformada fica
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = -\frac{8}{s^{3}} + \frac{16}{s^{2}} + \frac{9}{s},
válida para \operatorname{Re}(s)>0. Se preferir, pode-se também agrupar em denominador comum s^{3}:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{-8+16s+9s^{2}}{s^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = -\frac{8}{s^{3}} + \frac{16}{s^{2}} + \frac{9}{s}

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