Calcule as transformadas abaixo: (Use a tabela)
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
Pergunta: determinar
, a transformada de Laplace da função acima (assumindo
).
Passo 2
Primeiro, o que é a transformada de Laplace? É a integral (definição)
onde
é uma variável complexa e, para funções polinomiais como a do enunciado, a integral converge para
.
Uma propriedade fundamental que vamos usar é a linearidade da transformada:
Uma propriedade fundamental que vamos usar é a linearidade da transformada:
para constantes
. Isso permite tratar termo a termo o polinômio.
Passo 3
Usando a tabela padrão de transformadas (a que o professor quer que usemos), temos fórmulas úteis:
e, para inteiro
,
onde
(fatorial) é
e por convenção
. Aplicando essas fórmulas aos nossos termos:
Passo 4
(se você quiser ver por que
, aqui está uma demonstração curta por partes)
Calcule
Calcule
Fazendo integração por partes com
,
dá
,
. Assim
O termo de fronteira é zero para
. Repetindo integração por partes em
obtemos
. Logo
Isso confirma a fórmula da tabela.
Passo 5
Agora aplico linearidade à função
:
Substituindo os valores da tabela (Passo 3):
Passo 6
Faço as contas term a termo:
Portanto a transformada fica
válida para
. Se preferir, pode-se também agrupar em denominador comum
: