Calcule as transformadas abaixo: (Use a tabela)
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que você calcule as transformadas (usando a tabela). Informações relevantes que temos:
- A função é dada em termos de
. - Queremos a transformada (forma padrão: a transformada de Laplace) de
. - Podemos usar a tabela de transformadas (e a propriedade da linearidade).
Passo 2
Escolha do método e propriedade usada: vamos usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace (que está na tabela):
Aqui
e
são constantes; no nosso caso são
e
. Então
Passo 3
Entrada da tabela que vamos usar: a transformada de Laplace de
é
valendo para
. Aqui:
-
é a variável complexa da transformada (frequência complexa); -
é o parâmetro angular da cossenoide; - a condição
garante convergência da integral imprópria da transformada.
Passo 4
Breve explicação de por que essa fórmula funciona (didática rápida):
A definição da transformada de Laplace é
A definição da transformada de Laplace é
Podemos escrever
e integrar
, obtendo
Tomando a parte real e fazendo a álgebra complexa chega-se à fórmula
. Isso mostra de onde vem a entrada da tabela.
Passo 5
Aplicando a tabela a
: aqui
. Assim
Passo 6
Aplicando a tabela a
: aqui
. Assim
Passo 7
Somando (linearidade):
Se quiser combinar em uma única fração, fazemos o MMC
:
A região de convergência continua sendo
.