Calcule as transformadas abaixo: (Use a tabela)
f(t)=\cos t+\cos 2 t.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(t)=\cos t+\cos 2t\, e pede que você calcule as transformadas (usando a tabela). Informações relevantes que temos:
  • A função é dada em termos de \,t.
  • Queremos a transformada (forma padrão: a transformada de Laplace) de \,f(t).
  • Podemos usar a tabela de transformadas (e a propriedade da linearidade).

Passo 2

Escolha do método e propriedade usada: vamos usar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace (que está na tabela):
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}.
Aqui a e b são constantes; no nosso caso são 1 e 1. Então
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{\cos t\}+\mathcal{L}\{\cos 2t\}.

Passo 3

Entrada da tabela que vamos usar: a transformada de Laplace de \cos(at) é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
valendo para \Re(s)>0. Aqui:
  • \,s é a variável complexa da transformada (frequência complexa);
  • \,a é o parâmetro angular da cossenoide;
  • a condição \Re(s)>0 garante convergência da integral imprópria da transformada.

Passo 4

Breve explicação de por que essa fórmula funciona (didática rápida):
A definição da transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt.
Podemos escrever \cos(at)=\Re\{e^{i a t}\} e integrar e^{-(s-i a)t}, obtendo
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-i a)t}\,dt=\frac{1}{s-i a}\quad(\Re(s)>0).
Tomando a parte real e fazendo a álgebra complexa chega-se à fórmula \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}. Isso mostra de onde vem a entrada da tabela.

Passo 5

Aplicando a tabela a \cos t: aqui a=1. Assim
\mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 6

Aplicando a tabela a \cos 2t: aqui a=2. Assim
\mathcal{L}\{\cos 2t\}=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 7

Somando (linearidade):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{s}{s^{2}+4}.
Se quiser combinar em uma única fração, fazemos o MMC (s^{2}+1)(s^{2}+4):
\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{s}{s^{2}+4}=\frac{s(s^{2}+4)+s(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{s(2s^{2}+5)}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.
A região de convergência continua sendo \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\,\cos t+\cos 2t\,\}=\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{s}{s^{2}+4}
\displaystyle \mathcal{L}\{\,\cos t+\cos 2t\,\}=\frac{s(2s^{2}+5)}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)}

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