Use a definição para calcular mathcal{L}{f(t)}} onde
f(t)=t^{2} e^{3 t}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\} da função f(t)=t^{2}e^{3t}.\n
Informações dadas: a função f(t)=t^{2}e^{3t} definida para t\ge 0. Não há outras restrições explícitas no enunciado, então devemos também determinar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (vamos usá‑la): \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável complexa da transformada; a integral impropria só converge quando a parte real de s for suficientemente grande. Substituindo f(t)=t^{2}e^{3t} na definição obtemos: \mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{3t}e^{-st}\,dt=\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-(s-3)t}\,dt.

Passo 3

Para simplificar, defina a=s-3. A integral torna‑se \displaystyle \int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-a t}\,dt. Para que a integral converja precisamos de \Re(a)>0, ou seja \Re(s)>3. Agora calculamos a integral por partes (repetindo, porque é isso que o enunciado pediu: usar a definição e calcular). Seja
I(a)=\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-a t}\,dt.
Primeira integração por partes: escolha u=t^{2} e dv=e^{-a t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{a}e^{-a t}. Aplicando a fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{t^{2}}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{a}\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt.
Note que o termo de fronteira \left[-\dfrac{t^{2}}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty} vale 0 quando \Re(a)>0, pois t^{2}e^{-a t}\to 0 quando t\to\infty e é 0 em t=0. Logo
I(a)=\frac{2}{a}\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt.

Passo 4

Calcule agora J(a)=\displaystyle \int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt por partes outra vez. Tome u=t e dv=e^{-a t}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{a}e^{-a t}. Assim,
\int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{t}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt.
O termo de fronteira \left[-\dfrac{t}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty}=0 para \Re(a)>0. A integral restante é a integral exponencial simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{a}.
Portanto J(a)=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{a^{2}}.

Passo 5

Volte para I(a). Encontramos I(a)=\dfrac{2}{a}\,J(a)=\dfrac{2}{a}\cdot\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{2}{a^{3}}. Lembrando que a=s-3, obtemos
\mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\}(s)=\frac{2}{(s-3)^{3}},
com convergência para \Re(s)>3.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}e^{3t}\}(s)=\dfrac{2}{(s-3)^{3}}\n
Condição de convergência: \Re(s)>3

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