Use a definição para calcular
{f(t)}} onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace
da função
.\n
Informações dadas: a função definida para
. Não há outras restrições explícitas no enunciado, então devemos também determinar para quais valores de
a integral converge.
Informações dadas: a função
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (vamos usá‑la):
Aqui
é a variável complexa da transformada; a integral impropria só converge quando a parte real de
for suficientemente grande. Substituindo
na definição obtemos:
Passo 3
Para simplificar, defina
. A integral torna‑se
. Para que a integral converja precisamos de
, ou seja
. Agora calculamos a integral por partes (repetindo, porque é isso que o enunciado pediu: usar a definição e calcular). Seja
Primeira integração por partes: escolha
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
,
Note que o termo de fronteira
vale
quando
, pois
quando
e é
em
. Logo
Passo 4
Calcule agora
por partes outra vez. Tome
e
. Então
e
. Assim,
O termo de fronteira
para
. A integral restante é a integral exponencial simples:
Portanto
Passo 5
Volte para
. Encontramos
. Lembrando que
, obtemos
com convergência para
.
Resposta
Condição de convergência: