Calcule as transformadas abaixo: (Use a tabela)
f(t)=t^{2}-e^{-9 t}+5;

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a transformada da função
f(t)=t^{2}-e^{-9 t}+5.
Informações dadas e o que queremos:
  • A função é composta por três termos: \;t^{2}, -e^{-9 t} e 5.
  • O enunciado indica “Use a tabela” — isso significa que podemos aplicar fórmulas padrão de transformada termo a termo.
  • Objetivo final: encontrar a transformada (no domínio de s) de f(t).

Passo 2

O que é a transformada que vamos usar e uma propriedade-chave:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}f(t)\,dt,
onde \;s\; é a variável (geralmente complexa) da transformada e a integral é imprópria de 0 até \infty.
Propriedade muito útil (linearidade): para quaisquer funções g e h e constantes a,b,
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\} = a\,\mathcal{L}\{g(t)\}+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}.
Isso permite calcular a transformada de f(t) termo a termo.

Passo 3

Fórmulas da tabela que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Para potência de t: \displaystyle \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}. Aqui \;n!\; é o fatorial de n e n é inteiro não negativo. A fórmula vale para \Re(s)>0 quando n é inteiro.
  • Para exponencial: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{a t}\}=\frac{1}{s-a}. Isso vale para \Re(s)>\Re(a).
  • Para constante: \displaystyle \mathcal{L}\{C\}=\frac{C}{s}. Isso vale para \Re(s)>0.
Vamos aplicar essas fórmulas aos termos de f(t).

Passo 4

Calculando \mathcal{L}\{t^{2}\}. Posso usar a fórmula direta com n=2:
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}},
mas como você pediu para aprender passo a passo, mostro também a derivação por integração por partes (é o mesmo resultado):
Começamos com
\mathcal{L}\{t^{2}\}=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt.
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeira vez: escolha u=t^{2} e dv=e^{-s t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Avaliando os limites (assumindo \Re(s)>0 para garantir que e^{-s t} zere em \infty):
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt.
O termo na fronteira é zero em \infty e zero em 0, sobrando
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt.
Agora aplicamos integração por partes outra vez para \int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt: escolha u=t, dv=e^{-s t}dt du=dt, v=-\dfrac{1}{s}e^{-s t}. Assim
\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{t}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt.
E a integral simples é
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{s},
novamente para \Re(s)>0. Substituindo:
\int_{0}^{\infty}t e^{-s t}\,dt = \frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Voltando à primeira igualdade:
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-s t}\,dt = \frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto \displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}} (válido para \Re(s)>0).

Passo 5

Calculando \mathcal{L}\{e^{-9 t}\} usando a fórmula da tabela para exponenciais com a=-9:
\mathcal{L}\{e^{-9 t}\}=\frac{1}{s-(-9)}=\frac{1}{s+9},
válido para \Re(s)>-9.

Passo 6

Calculando \mathcal{L}\{5\} usando a fórmula da tabela para constantes:
\mathcal{L}\{5\}=\frac{5}{s},
válido para \Re(s)>0.

Passo 7

Agora aplicamos linearidade e juntamos os termos: como f(t)=t^{2}-e^{-9 t}+5,
\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{t^{2}\}-\mathcal{L}\{e^{-9 t}\}+\mathcal{L}\{5\} = \frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s+9}+\frac{5}{s}.
A região de convergência que atende todos os termos é a interseção das condições: \Re(s)>0 (exigida por t^{2} e pela constante) e \Re(s)>-9 (exigida pelo exponencial). A interseção é \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2}{s^{3}}-\frac{1}{s+9}+\frac{5}{s}

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