Calcule as transformadas abaixo: (Use a tabela)
;
Passo 1
O enunciado pede que você calcule a transformada da função
Informações dadas e o que queremos:
- A função é composta por três termos:
, e . - O enunciado indica “Use a tabela” — isso significa que podemos aplicar fórmulas padrão de transformada termo a termo.
- Objetivo final: encontrar a transformada (no domínio de
) de .
Passo 2
O que é a transformada que vamos usar e uma propriedade-chave:
onde
é a variável (geralmente complexa) da transformada e a integral é imprópria de
até
.
Propriedade muito útil (linearidade): para quaisquer funções e
e constantes
,
Propriedade muito útil (linearidade): para quaisquer funções
Isso permite calcular a transformada de
termo a termo.
Passo 3
Fórmulas da tabela que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Para potência de
: . Aqui é o fatorial de e é inteiro não negativo. A fórmula vale para quando é inteiro. - Para exponencial:
. Isso vale para . - Para constante:
. Isso vale para .
Vamos aplicar essas fórmulas aos termos de
.
Passo 4
Calculando
. Posso usar a fórmula direta com
:
mas como você pediu para aprender passo a passo, mostro também a derivação por integração por partes (é o mesmo resultado):
Começamos com
Começamos com
Fazemos integração por partes duas vezes. Primeira vez: escolha
e
. Então
e
. Avaliando os limites (assumindo
para garantir que
zere em
):
O termo na fronteira é zero em
e zero em
, sobrando
Agora aplicamos integração por partes outra vez para
: escolha
,
→
,
. Assim
E a integral simples é
novamente para
. Substituindo:
Voltando à primeira igualdade:
Portanto
(válido para
).
Passo 5
Calculando
usando a fórmula da tabela para exponenciais com
:
válido para
.
Passo 6
Calculando
usando a fórmula da tabela para constantes:
válido para
.
Passo 7
Agora aplicamos linearidade e juntamos os termos: como
,
A região de convergência que atende todos os termos é a interseção das condições:
(exigida por
e pela constante) e
(exigida pelo exponencial). A interseção é
.