Resolva:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3 s+5}{s^{2}+7}\right\}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3s+5}{s^{2}+7}\right\}.
Informações dadas importantes:
\text{função no domínio de }s:\quad F(s)=\frac{3s+5}{s^{2}+7}.çãí
Observações imediatas: o numerador é linear em s e o denominador é a soma de s^{2} com uma constante 7. A expressão é uma combinação linear de termos do tipo \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e \dfrac{1}{s^{2}+a^{2}}, que aparecem nas transformadas de \cos e \sin.

Passo 2

Propriedade que vamos usar: linearidade da transformada inversa de Laplace. Vou explicar isso com calma.
Se F(s)=a\,G(s)+b\,H(s) com a,b constantes e G,H funções de s, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
Isto quer dizer que podemos separar a fração em partes mais simples e aplicar a inversa em cada parte. Essa propriedade é válida porque a transformada de Laplace é uma transformação linear (soma vira soma e constante sai em fator).

Passo 3

Usamos a linearidade para separar F(s) em duas parcelas simples. Basta distribuir:
\frac{3s+5}{s^{2}+7}=3\cdot\frac{s}{s^{2}+7}+5\cdot\frac{1}{s^{2}+7}.
Aqui eu só reescrevi a fração agrupando coeficientes em evidência: o termo com s e o termo constante.

Passo 4

Agora precisamos lembrar as transformadas diretas padrão (vou explicar por que cada fórmula vale):
  1. Para a>0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
  1. Para a>0,
\mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Breve justificativa (intuição): essas fórmulas vêm do cálculo da integral \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt e \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt; ao resolver essas integrais (usando integração por partes ou identidades complexas) obtemos exatamente as frações acima. O importante para a prova é decorar essas correspondências e saber aplicá-las.

Passo 5

Identificar a no nosso caso. Temos s^{2}+7 no denominador, então colocamos isso na forma s^{2}+a^{2}. Assim
a^{2}=7\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{7}.
Portanto as fórmulas do passo anterior aplicam-se com a=\sqrt{7}.

Passo 6

Aplicando as correspondências e a linearidade:
  • Para a parcela 3\cdot\frac{s}{s^{2}+7}, como \mathcal{L}\{\cos(a t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}, temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{3\cdot\frac{s}{s^{2}+7}\right\}=3\cos\!\big(\sqrt{7}\,t\big).
  • Para a parcela 5\cdot\frac{1}{s^{2}+7}, usamos que \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\sin(a t).
Com a=\sqrt{7} isso dá
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{5\cdot\frac{1}{s^{2}+7}\right\}=5\cdot\frac{1}{\sqrt{7}}\sin\!\big(\sqrt{7}\,t\big)=\frac{5}{\sqrt{7}}\sin\!\big(\sqrt{7}\,t\big).

Passo 7

Somando as duas parcelas (pela linearidade) obtemos a função no tempo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3s+5}{s^{2}+7}\right\}=3\cos\!\big(\sqrt{7}\,t\big)+\frac{5}{\sqrt{7}}\sin\!\big(\sqrt{7}\,t\big).
Vou fazer uma verificação rápida para você ficar seguro: aplicando a transformada de Laplace ao resultado:
\mathcal{L}\{3\cos(\sqrt{7}t)\}=\frac{3s}{s^{2}+7},\qquad \mathcal{L}\left\{\frac{5}{\sqrt{7}}\sin(\sqrt{7}t)\right\}=\frac{5}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{s^{2}+7}=\frac{5}{s^{2}+7},
que somados retornam \dfrac{3s+5}{s^{2}+7}, exatamente F(s). Está consistente.

Resposta

3\cos\!\big(\sqrt{7}\,t\big)+\dfrac{5}{\sqrt{7}}\sin\!\big(\sqrt{7}\,t\big)

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