Resolva:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace
Informações dadas importantes:
Observações imediatas: o numerador é linear em
e o denominador é a soma de
com uma constante
. A expressão é uma combinação linear de termos do tipo
e
, que aparecem nas transformadas de
e
.
Passo 2
Propriedade que vamos usar: linearidade da transformada inversa de Laplace. Vou explicar isso com calma.
Se com
constantes e
funções de
, então
Se
Isto quer dizer que podemos separar a fração em partes mais simples e aplicar a inversa em cada parte. Essa propriedade é válida porque a transformada de Laplace é uma transformação linear (soma vira soma e constante sai em fator).
Passo 3
Usamos a linearidade para separar
em duas parcelas simples. Basta distribuir:
Aqui eu só reescrevi a fração agrupando coeficientes em evidência: o termo com
e o termo constante.
Passo 4
Agora precisamos lembrar as transformadas diretas padrão (vou explicar por que cada fórmula vale):
- Para
,
- Para
,
Breve justificativa (intuição): essas fórmulas vêm do cálculo da integral
e
; ao resolver essas integrais (usando integração por partes ou identidades complexas) obtemos exatamente as frações acima. O importante para a prova é decorar essas correspondências e saber aplicá-las.
Passo 5
Identificar
no nosso caso. Temos
no denominador, então colocamos isso na forma
. Assim
Portanto as fórmulas do passo anterior aplicam-se com
.
Passo 6
Aplicando as correspondências e a linearidade:
- Para a parcela
, como , temos
- Para a parcela
, usamos que , então
Com
isso dá
Passo 7
Somando as duas parcelas (pela linearidade) obtemos a função no tempo:
Vou fazer uma verificação rápida para você ficar seguro: aplicando a transformada de Laplace ao resultado:
que somados retornam
, exatamente
. Está consistente.