Resolva:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+6 s+25}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
\frac{s+1}{s^{2}+6s+25}.
Informações dadas: o numerador é (s+1) e o denominador é um polinômio quadrático s^{2}+6s+25. A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+1}{s^{2}+6s+25}\right\}.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
  • A transformada de Laplace da função \mathrm{e}^{at}\cos(bt) é
\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{at}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui s é a variável do domínio de Laplace (complexa), a é o coeficiente do expoente real e b é a frequência na função trigonométrica.
  • A transformada de Laplace da função \mathrm{e}^{at}\sin(bt) é
\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Essas duas fórmulas são padrão e muito úteis: o denominador tem sempre a forma (s-a)^{2}+b^{2} e o numerador é (s-a) para o cosseno e b para o seno. Para aplicar essas fórmulas é comum completar o quadrado no denominador e escrever o numerador em termos de (s-a).

Passo 3

Vamos completar o quadrado no denominador \,s^{2}+6s+25. Calculo:
s^{2}+6s+25 = (s^{2}+6s+9)+16 = (s+3)^{2}+16.
Então podemos reescrever a função como
\frac{s+1}{s^{2}+6s+25}=\frac{s+1}{(s+3)^{2}+16}.

Passo 4

Precisamos agora expressar o numerador (s+1) em termos de (s+3), porque as fórmulas usam (s-a). Observe:
s+1 = (s+3)-2.
Substituindo na fração:
\frac{s+1}{(s+3)^{2}+16}=\frac{(s+3)-2}{(s+3)^{2}+16} =\frac{s+3}{(s+3)^{2}+16}-\frac{2}{(s+3)^{2}+16}.

Passo 5

Agora identificamos cada termo com as transformadas conhecidas.
  • O primeiro termo \dfrac{s+3}{(s+3)^{2}+16} corresponde exatamente à transformada de \mathrm{e}^{-3t}\cos(4t), porque aqui a=-3 e b=4 (note que 16=4^{2}). Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+3}{(s+3)^{2}+16}\right\}=\mathrm{e}^{-3t}\cos(4t).
  • O segundo termo \dfrac{2}{(s+3)^{2}+16} deve ser escrito comparando com \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}. Como b=4, temos
\frac{2}{(s+3)^{2}+16}=\frac{2}{4}\cdot\frac{4}{(s+3)^{2}+4^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{(s+3)^{2}+16}.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+3)^{2}+16}\right\}=\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-3t}\sin(4t),
pois \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-3t}\sin(4t)\}=\dfrac{4}{(s+3)^{2}+16}.

Passo 6

Como a função original era a diferença dos dois termos, a transformada inversa é a diferença das inversas:
f(t)=\mathrm{e}^{-3t}\cos(4t)-\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-3t}\sin(4t).
Fatorando \mathrm{e}^{-3t} para ficar mais limpo:
f(t)=\mathrm{e}^{-3t}\left(\cos(4t)-\tfrac{1}{2}\sin(4t)\right).
Uma checagem rápida: se aplicássemos a transformada de Laplace em f(t) usando as fórmulas do Passo 2, voltaríamos à expressão original, então a resposta está consistente.

Resposta

\mathrm{e}^{-3t}\left(\cos(4t)-\tfrac{1}{2}\sin(4t)\right)

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