Resolva:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é um polinômio quadrático
. A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicação didática):
- A transformada de Laplace da função
é
Aqui
é a variável do domínio de Laplace (complexa),
é o coeficiente do expoente real e
é a frequência na função trigonométrica.
- A transformada de Laplace da função
é
Essas duas fórmulas são padrão e muito úteis: o denominador tem sempre a forma
e o numerador é
para o cosseno e
para o seno. Para aplicar essas fórmulas é comum completar o quadrado no denominador e escrever o numerador em termos de
.
Passo 3
Vamos completar o quadrado no denominador
. Calculo:
Então podemos reescrever a função como
Passo 4
Precisamos agora expressar o numerador
em termos de
, porque as fórmulas usam
. Observe:
Substituindo na fração:
Passo 5
Agora identificamos cada termo com as transformadas conhecidas.
- O primeiro termo
corresponde exatamente à transformada de , porque aqui e (note que ). Logo
- O segundo termo
deve ser escrito comparando com . Como , temos
Portanto
pois
.
Passo 6
Como a função original era a diferença dos dois termos, a transformada inversa é a diferença das inversas:
Fatorando
para ficar mais limpo:
Uma checagem rápida: se aplicássemos a transformada de Laplace em
usando as fórmulas do Passo 2, voltaríamos à expressão original, então a resposta está consistente.