Calcule as transformadas inversas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! O problema pede para encontrar a transformada inversa de
. Aqui, a gente vai usar conceitos de transformadas de Laplace e frações parciais para simplificar a expressão e então aplicar as regras da transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. A gente precisa separar essa fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa. Para isso, vamos usar o método de frações parciais.
Passo 3
Vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Suponha que:
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos expandir e organizar os termos por ordem de potência de s:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas o termo constante 1, então:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Resolvendo as equações:
- De
, já sabemos que A é zero. - De
, com A = 0, então C = 0. - De
, temos que B = 1. - De
, com B = 1, então D = -1.
Então, os valores são: A = 0, B = 1, C = 0, D = -1.
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão original de frações parciais:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Portanto,
Resposta
A transformada inversa é: