Calcule as transformadas inversas:
L^-11s^2(s^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! O problema pede para encontrar a transformada inversa de 1s^2(s^2+1). Aqui, a gente vai usar conceitos de transformadas de Laplace e frações parciais para simplificar a expressão e então aplicar as regras da transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão 1s^2(s^2+1). A gente precisa separar essa fração em partes mais simples que a gente já conhece a transformada inversa. Para isso, vamos usar o método de frações parciais.

Passo 3

Vamos escrever a fração como uma soma de frações mais simples. Suponha que:
1s^2(s^2+1) = As + Bs^2 + Cs + Ds^2+1
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por s^2(s^2+1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A s (s^2 + 1) + B (s^2 + 1) + (Cs + D) s^2
Agora, vamos expandir e organizar os termos por ordem de potência de s:
1 = A s^3 + A s + B s^2 + B + C s^3 + D s^2
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + A s + B

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas o termo constante 1, então:
  • Coeficiente de s^3: A + C = 0
  • Coeficiente de s^2: B + D = 0
  • Coeficiente de s: A = 0
  • Termo constante: B = 1

Passo 6

Resolvendo as equações:
  1. De A = 0, já sabemos que A é zero.
  2. De A + C = 0, com A = 0, então C = 0.
  3. De B = 1, temos que B = 1.
  4. De B + D = 0, com B = 1, então D = -1.
Então, os valores são: A = 0, B = 1, C = 0, D = -1.

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão original de frações parciais:
1s^2(s^2+1) = 0s + 1s^2 + 0 cdot s - 1s^2+1 = 1s^2 - 1s^2+1

Passo 8

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente:
L^-11s^2 = t
L^-11s^2+1 = sin(t)
Portanto,
L^-11s^2(s^2+1) = t - sin(t)

Resposta

A transformada inversa é:
L^-11s^2(s^2+1) = t - sin(t)

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