Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Ordem 4. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Podemos dividir ambos os lados por
(que nunca é zero), resultando na Equação Característica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática em
:
Isso nos dá duas soluções para
:
-
⇒ -
⇒
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação original:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos assumir que
também é um polinômio de segundo grau:
Passo 7
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 10
Com os valores de
encontrados, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias.