Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^(4)-5 y^prime prime+4 y=(x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A equação que temos é:
y^(4) - 5 y'' + 4 y = (x + 1)^2
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Ordem 4. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
y^(4) - 5 y'' + 4 y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^r x , onde r é uma constante a ser encontrada.

Passo 3

Substituindo y = e^r x na equação homogênea, temos:
r^4 e^r x - 5 r^2 e^r x + 4 e^r x = 0
Podemos dividir ambos os lados por e^r x (que nunca é zero), resultando na Equação Característica:
r^4 - 5 r^2 + 4 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática em r^2 :
r^4 - 5 r^2 + 4 = 0 (r^2 - 1)(r^2 - 4) = 0
Isso nos dá duas soluções para r^2 :
  1. r^2 - 1 = 0 r = pm 1
  2. r^2 - 4 = 0 r = pm 2

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^2x + C4 e^-2x
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação original:
y^(4) - 5 y'' + 4 y = (x + 1)^2
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos assumir que yp também é um polinômio de segundo grau:
yp = A x^2 + B x + C

Passo 7

Vamos calcular as derivadas necessárias de yp :
yp' = 2A x + B yp'' = 2A yp''' = 0 yp'''' = 0

Passo 8

Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
0 - 5 (2A) + 4 (A x^2 + B x + C) = (x + 1)^2
Simplificando:
-10A + 4A x^2 + 4B x + 4C = x^2 + 2x + 1

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Coeficiente de x^2 :
4A = 1 ⇒ A = 14
  1. Coeficiente de x :
4B = 2 ⇒ B = 12
  1. Termo constante:
-10A + 4C = 1 -10 ( 14 ) + 4C = 1 -104 + 4C = 1 -2.5 + 4C = 1 4C = 3.5 ⇒ C = 78

Passo 10

Com os valores de A, B, C encontrados, a solução particular é:
yp = 14 x^2 + 12 x + 78

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^2x + C4 e^-2x + 14 x^2 + 12 x + 78

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^2x + C4 e^-2x + 14 x^2 + 12 x + 78
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes arbitrárias.

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