Use a transformada de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado pede para resolver
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais, e vamos precisar conhecer as propriedades da transformada, especialmente para derivadas e funções do tipo degrau, como a
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de
é
, e como
e
, isso simplifica para
. A transformada de
é simplesmente
. Então, a equação transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Passo 4
Precisamos encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
onde
é a transformada de
. Aqui,
, cuja transformada é
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Notamos que
pode ser fatorado como
, mas para simplificação, podemos reconhecer que a transformada inversa será uma combinação de funções exponenciais e senos ou cossenos afetadas pelo termo de deslocamento
.
Passo 8
Aplicando a propriedade do deslocamento, sabemos que:
Então, a solução será:
Onde
denota a convolução.
Passo 9
Resolvendo a transformada inversa e simplificando, chegamos à expressão final para
, que incorpora as funções envolvidas e o deslocamento no tempo devido ao termo
.
Resposta
A solução da equação diferencial é