Use a transformada de Laplace para resolver a seguinte equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O enunciado pede para resolver y'' - y = U(t - pi) sin t com as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 0 . A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais, e vamos precisar conhecer as propriedades da transformada, especialmente para derivadas e funções do tipo degrau, como a U(t - pi).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) , e como y(0) = 0 e y'(0) = 0 , isso simplifica para s^2 Y(s) . A transformada de y é simplesmente Y(s) . Então, a equação transformada fica:
s^2 Y(s) - Y(s) = L U(t - pi) sin t

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
(s^2 - 1) Y(s) = L U(t - pi) sin t

Passo 4

Precisamos encontrar a transformada de Laplace de U(t - pi) sin t . Sabemos que:
L U(t - a) f(t - a) = e^-a s F(s)
onde F(s) é a transformada de f(t) . Aqui, f(t) = sin t , cuja transformada é 1s^2 + 1 . Então:
L U(t - pi) sin t = e^-pi s cdot 1s^2 + 1

Passo 5

Substituindo de volta na equação:
(s^2 - 1) Y(s) = e^-pi ss^2 + 1
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = e^-pi s(s^2 - 1)(s^2 + 1)

Passo 6

Vamos simplificar o denominador:
(s^2 - 1)(s^2 + 1) = s^4 - 1
Então:
Y(s) = e^-pi ss^4 - 1

Passo 7

Para encontrar y(t) , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace. Notamos que s^4 - 1 pode ser fatorado como (s^2 - 1)(s^2 + 1) , mas para simplificação, podemos reconhecer que a transformada inversa será uma combinação de funções exponenciais e senos ou cossenos afetadas pelo termo de deslocamento e^-pi s .

Passo 8

Aplicando a propriedade do deslocamento, sabemos que:
L^-1 e^-a s F(s) = U(t - a) f(t - a)
Então, a solução será:
y(t) = U(t - pi) cdot L^-1 1s^4 - 1 ast sin(t - pi)
Onde ast denota a convolução.

Passo 9

Resolvendo a transformada inversa e simplificando, chegamos à expressão final para y(t) , que incorpora as funções envolvidas e o deslocamento no tempo devido ao termo U(t - pi) .

Resposta

A solução da equação diferencial é
y(t) = U(t - pi) ( sinh(t - pi)2 - sin(t - pi)2 )

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