Calcule as transformadas inversas de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função no domínio de Laplace é \dfrac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}.
  • Precisa-se encontrar a função de tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\dfrac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}.
  • Assume-se a convenção usual de Laplace unilateral (funções definidas para t\ge0).

Passo 2

Rápida revisão do que é a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa do domínio de Laplace.
  • Propriedade de linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}. Isso vale também para a transformada inversa.
  • Tabela básica que usaremos (valores clássicos; explico a lógica atrás deles):
    • \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} porque \displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty=\frac{1}{s} para \Re(s)>0.
    • \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+1} e \mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}. Essas fórmulas vêm de integrar e^{-st}\cos t e e^{-st}\sin t por partes ou usando transformadas de exponenciais complexas; aqui vamos apenas usar os resultados, pois são padrões em tabelas.
  • Estratégia: expressar \dfrac{1}{s(s^{2}+1)} em frações simples cujas inversas são conhecidas (método de frações parciais), e então aplicar a transformada inversa linearmente.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por s\left(s^{2}+1\right) obtemos uma identidade polinomial:
1 = A\left(s^{2}+1\right) + (Bs+C)s.

Passo 4

Expandir e comparar coeficientes para encontrar A,B,C. Primeiro expandimos o lado direito:
A\left(s^{2}+1\right)+(Bs+C)s = A s^{2} + A + B s^{2} + C s = (A+B)s^{2} + C s + A.
Essa expressão deve ser igual ao polinômio constante 1, isto é,
(A+B)s^{2} + C s + A \equiv 1.
Comparando coeficientes de potências de s:
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de s^{1}: C=0.
  • Coeficiente constante: A=1.
Daí:
A=1,\qquad C=0,\qquad B=-A=-1.

Passo 5

Substituir os coeficientes na decomposição. Temos
\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}=\frac{1}{s}+\frac{-s+0}{s^{2}+1}=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+1}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e a tabela que lembramos:
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s}\right\}(t)=1 para t\ge0.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}(t)=\cos t.
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}\right\}(t)=1-\cos t,\qquad t\ge0.

Passo 6

Verificação alternativa (útil para a prova): via convolução. Como
\frac{1}{s\left(s^{2}+1\right)}=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}+1},
a transformada inversa é convolução das inversas:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1,
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{2}+1}\}=\sin t.
Logo
f(t)=(1*\sin)(t)=\int_{0}^{t}1\cdot\sin(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t}\sin(\tau)\,d\tau = 1-\cos t,
o que confirma o resultado obtido por frações parciais.

Resposta

1-\cos t

Exercícios relacionados