Calcule as transformadas inversas de Laplace
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função no domínio de Laplace é
. - Precisa-se encontrar a função de tempo
tal que . - Assume-se a convenção usual de Laplace unilateral (funções definidas para
).
Passo 2
Rápida revisão do que é a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar (sem pular etapas).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa do domínio de Laplace.
- Propriedade de linearidade:
. Isso vale também para a transformada inversa. - Tabela básica que usaremos (valores clássicos; explico a lógica atrás deles):
-
porque para . -
e . Essas fórmulas vêm de integrar e por partes ou usando transformadas de exponenciais complexas; aqui vamos apenas usar os resultados, pois são padrões em tabelas.
-
- Estratégia: expressar
em frações simples cujas inversas são conhecidas (método de frações parciais), e então aplicar a transformada inversa linearmente.
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos uma identidade polinomial:
Passo 4
Expandir e comparar coeficientes para encontrar
. Primeiro expandimos o lado direito:
Essa expressão deve ser igual ao polinômio constante
, isto é,
Comparando coeficientes de potências de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Daí:
Passo 5
Substituir os coeficientes na decomposição. Temos
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade e a tabela que lembramos:
-
para . -
.
Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (útil para a prova): via convolução. Como
a transformada inversa é convolução das inversas:
-
, -
.
Logo
o que confirma o resultado obtido por frações parciais.