Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}\left[3 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da combinação linear dos derivados de y(t):
3\,y''(t)\;-\;2\,y'(t)\;+\;y(t).
O conteúdo envolve as propriedades da transformada de Laplace para derivadas. Vamos usar
\mathcal{L}[y'] e \mathcal{L}[y''] em termos de Y(s)=\mathcal{L}[y(t)] e dos valores iniciais y(0) e y'(0).

Passo 2

Lembrando as fórmulas para derivadas:
\mathcal{L}[y'(t)] = s\,Y(s) - y(0),
\mathcal{L}[y''(t)] = s^2\,Y(s) - s\,y(0) - y'(0).

Passo 3

Pela linearidade da transformada,
\mathcal{L}\bigl[3\,y'' - 2\,y' + y\bigr] = 3\,\mathcal{L}[y''] \;-\; 2\,\mathcal{L}[y'] \;+\; \mathcal{L}[y].

Passo 4

Substituindo as fórmulas:
3\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) -2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) +Y(s).
Agrupando os termos em Y(s) e os termos dos valores iniciais:
\bigl(3s^2 -2s +1\bigr)Y(s) \;-\;3s\,y(0)\;+\;2\,y(0)\;-\;3\,y'(0).
Reescrevendo os termos iniciais:
-3s\,y(0)+2\,y(0) =-(3s-2)\,y(0).

Resposta

\mathcal{L}\bigl[3\,y''-2\,y'+y\bigr] = \bigl(3s^2-2s+1\bigr)\,Y(s) -(3s-2)\,y(0) -3\,y'(0).

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