Resolva as seguintes transformadas:
\mathcal{L}\left[\mathrm{u}_{\mathrm{a}}(\mathrm{t}) \mathrm{t}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \mathrm{u}_{a}(t)\,t, onde \mathrm{u}_{a}(t) é o degrau unitário deslocado, isto é \mathrm{u}_{a}(t)=\mathrm{u}(t-a). O conteúdo aqui é a aplicação do teorema do deslocamento na transformada de Laplace e da linearidade.

Passo 2

Para usar o teorema do deslocamento, escrevemos
\mathrm{u}(t-a)\,t \;=\;\mathrm{u}(t-a)\Bigl((t-a)+a\Bigr) \;=\;\mathrm{u}(t-a)\,(t-a)\;+\;a\,\mathrm{u}(t-a).

Passo 3

Pela linearidade,
\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\,t\bigr] =\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\,(t-a)\bigr] \;+\;a\,\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\bigr].
Agora aplicamos o teorema do deslocamento: se f(t) tem \mathcal{L}[f(t)]=F(s), então
\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\,f(t-a)\bigr] =e^{-a s}\,F(s).

Passo 4

No primeiro termo, f(t-a)=t-a tem transformada
\mathcal{L}[t-a]=\frac{1}{s^{2}},
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\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\,(t-a)\bigr] =e^{-a s}\,\frac{1}{s^{2}}.

Passo 5

No segundo termo, basta lembrar que
\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\bigr] =\frac{e^{-a s}}{s}.
Multiplicando por a fica
a\,\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}(t-a)\bigr] =a\,\frac{e^{-a s}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\bigl[\mathrm{u}_{a}(t)\,t\bigr] =e^{-a s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{a}{s}\Bigr).

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