Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{3 s+2}{4 s^{2}+12 s+9}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=\frac{3\,s+2}{4\,s^{2}+12\,s+9}.
O conteúdo aqui é transformada de Laplace inversa e vamos precisar de decomposição em frações simples e dos pares
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+a}\}=e^{-a\,t} e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{(s+a)^2}\}=t\,e^{-a\,t}.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador:
4\,s^{2}+12\,s+9 = (2\,s+3)^2.

Passo 3

Fazemos a decomposição
3\,s+2 = A\,(2\,s+3) + B.
Comparando coeficientes em s e constantes:
3 = 2A \quad\Longrightarrow\quad A=\frac32, \qquad 2 = 3A + B \quad\Longrightarrow\quad B = 2 - \frac{9}{2} = -\frac52.
Logo
F(s) = \frac{3\,s+2}{(2\,s+3)^2} = \frac{\tfrac32}{2\,s+3} \;-\;\frac{\tfrac52}{(2\,s+3)^2}.

Passo 4

Reescrevendo cada termo em função de s+\tfrac32:
\frac{1}{2\,s+3} = \frac12\;\frac{1}{s + \tfrac32}, \qquad \frac{1}{(2\,s+3)^2} = \frac14\;\frac{1}{\bigl(s + \tfrac32\bigr)^2}.
Assim
F(s) = \frac32\cdot\frac12\;\frac{1}{s + \tfrac32} \;-\;\frac52\cdot\frac14\;\frac{1}{(s + \tfrac32)^2} = \frac{3}{4}\,\frac{1}{s + \tfrac32} - \frac{5}{8}\,\frac{1}{(s + \tfrac32)^2}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s + \tfrac32}\Bigr\} = e^{-\tfrac32\,t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s + \tfrac32)^2}\Bigr\} = t\,e^{-\tfrac32\,t}.
Logo
f(t) = \frac{3}{4}\,e^{-\tfrac32\,t} - \frac{5}{8}\,t\,e^{-\tfrac32\,t}.

Resposta

f(t) = \Bigl(\frac{3}{4} - \frac{5}{8}\,t\Bigr)\,e^{-\tfrac32\,t},\quad t\ge0.

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