Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{s}{(s+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s}{(s+1)^{2}}.
Vamos usar linearidade e as fórmulas conhecidas
\mathcal{L}\{e^{-t}\}=\frac{1}{s+1} e
\mathcal{L}\{t\,e^{-t}\}=\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais reagrupando s:
F(s) =\frac{s+1-1}{(s+1)^{2}} =\frac{s+1}{(s+1)^{2}}-\frac{1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^{2}}.

Passo 3

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}=t\,e^{-t}.
Pela linearidade,
f(t)=e^{-t}-t\,e^{-t}=(1-t)e^{-t},\quad t\ge0.

Resposta

f(t)=(1-t)e^{-t},\quad t\ge0.

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