Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{5 s^{2}-15 s-11}{(s-2)^{3}(s+1)}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa da função racional
F(s)=\frac{5s^{2}-15s-11}{(s-2)^{3}(s+1)}.
Conteúdo: transformada inversa de Laplace para funções racionais. Vamos usar decomposição em frações parciais e as fórmulas padrão de \mathcal L^{-1}.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
F(s) =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{(s-2)^{2}}+\frac{D}{(s-2)^{3}}.
Multiplicando por (s+1)(s-2)^{3} e igualando numeradores, obtém-se
5s^{2}-15s-11 = A(s-2)^{3} \;+\;(s+1)\bigl[B(s-2)^{2}+C(s-2)+D\bigr].

Passo 3

Expandindo e coletando potências de s\) gera o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -6A -3B + C = 5,\\\\ 12A - C + D = -15,\\\\ -8A +4B -2C + D = -11. \end{cases}
Da primeira equação vem (A=-B]. Substituindo nas demais, encontra-se
B=\tfrac13,\quad A=-\tfrac13,\quad C=4,\quad D=-7.

Passo 4

A decomposição final é
F(s) =-\tfrac13\frac{1}{s+1} +\tfrac13\frac{1}{s-2} +\frac{4}{(s-2)^{2}} -\frac{7}{(s-2)^{3}}.

Passo 5

Aplicando as transformadas inversas conhecidas
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s+1}\Bigr\}=e^{-t},\quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-2}\Bigr\}=e^{2t},\quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-2)^{2}}\Bigr\}=t\,e^{2t},\quad \mathcal L^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-2)^{3}}\Bigr\}=\tfrac{t^{2}}{2}\,e^{2t},
obtemos
f(t)=-\tfrac13e^{-t}+\tfrac13e^{2t}+4\,t\,e^{2t} -7\cdot\tfrac{t^{2}}{2}\,e^{2t}.

Resposta

f(t)=e^{2t}\Bigl(\tfrac13+4t-\tfrac72\,t^{2}\Bigr)\;-\;\tfrac13e^{-t}.

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