Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{s}{s^{2}+4 s+5}

Passo 1

O enunciado nos pede a transformada inversa de F(s)=\frac{s}{s^{2}+4s+5}. O conteúdo é Transformada de Laplace e vamos usar completamento de quadrado e as propriedades de e^{-at}\cos bt e e^{-at}\sin bt.

Passo 2

Completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1.

Passo 3

Reescrevemos F(s) separando o numerador em duas parcelas:
\frac{s}{(s+2)^{2}+1} =\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} -\frac{2}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 4

Pela tabela de transformadas inversas temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\}=e^{-2t}\cos t,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+2)^{2}+1}\Bigr\}=e^{-2t}\sin t.
Portanto, -\frac{2}{(s+2)^{2}+1} corresponde a -2e^{-2t}\sin t.

Passo 5

Somando os resultados, obtemos a transformada inversa
f(t)=e^{-2t}\cos t-2e^{-2t}\sin t.

Resposta

f(t)=e^{-2t}(\cos t-2\sin t).

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