Resolva os PVI’s a seguir utilizando transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=4 e^{2 t}, y(0)=-3, y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' + 2y = 4e^{2t},\quad y(0)=-3,\quad y'(0)=5
usando transformada de Laplace. Vamos usar \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicamos \mathcal{L} em ambos os lados de
y'' - 3y' + 2y = 4e^{2t}
e obtemos
\mathcal{L}\{y''\} -3\,\mathcal{L}\{y'\} + 2\,\mathcal{L}\{y\} =4\,\mathcal{L}\{e^{2t}\}
\bigl(s^2Y(s)-s(-3)-5\bigr)-3\bigl(sY(s)-(-3)\bigr)+2Y(s) =\frac{4}{s-2}.

Passo 3

Simplificando:
s^2Y(s)+3s-5-3sY(s)-9+2Y(s)=\frac{4}{s-2}
\bigl(s^2-3s+2\bigr)Y(s)+3s-14=\frac{4}{s-2}
(s-1)(s-2)\,Y(s)=\frac{4}{s-2}-3s+14
Y(s)=\frac{\displaystyle\frac{4}{s-2}-3s+14}{(s-1)(s-2)} =\frac{-3s^2+20s-24}{(s-1)(s-2)^2}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{-3s^2+20s-24}{(s-1)(s-2)^2} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}+\frac{C}{(s-2)^2}.
Resolvendo para A,B,C obtém-se A=-7, B=4, C=4. Logo,
Y(s)=-\frac{7}{s-1}+\frac{4}{s-2}+\frac{4}{(s-2)^2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s-a}\Bigr\}=e^{at}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s-a)^2}\Bigr\}=te^{at},
temos
y(t)=-7e^{t}+4e^{2t}+4t\,e^{2t}.

Resposta

y(t)=-7e^{t}+4e^{2t}+4t\,e^{2t}.

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