Calcule as transformadas inversas das seguintes funções:
F(s)=\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}}.
O conteúdo principal é o uso de frações parciais para decompor F(s) em termos cujas transformadas inversas são conhecidas na tabela de Laplace.

Passo 2

Decompomos
\frac{s+1}{s^{2}(s+2)^{3}} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s+2}+\frac{D}{(s+2)^{2}}+\frac{E}{(s+2)^{3}}.
Multiplicando tudo por s^{2}(s+2)^{3}, obtemos a identidade
s+1 = A\,s\,(s+2)^{3} + B\,(s+2)^{3} + C\,s^{2}(s+2)^{2} + D\,s^{2}(s+2) + E\,s^{2}.

Passo 3

Para achar B e E de modo rápido, fazemos:
– Em s=0, o lado esquerdo vale 1 e só sobrevive o termo B\cdot2^{3}. Logo
1 = 8B \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{8}.
– Em s=-2, o lado esquerdo vale -1 e só sobra E\cdot(-2)^{2}. Logo
-1 = 4E \quad\Longrightarrow\quad E = -\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Comparando coeficientes de potências de s\) no polinômio \[A\,s\,(s+2)^{3}+B\,(s+2)^{3}+C\,s^{2}(s+2)^{2}+D\,s^{2}(s+2)+E\,s^{2} \equiv s+1,
obtemos o sistema (já usando B=\tfrac18 e E=-\tfrac14):
\begin{cases} A + C = 0,\\\\ 6A + B + 4C + D = 0,\\\\ 12A + 6B + 4C + 2D + E = 0. \end{cases}
Substituindo B\] e \(E e resolvendo, achamos
A = -\tfrac{1}{16}, \quad C = -A = \tfrac{1}{16}, \quad D = 0.

Passo 5

Usamos agora a tabela de transformadas inversas:
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s}\Big\}(t)=1, \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^{2}}\Big\}(t)=t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{(s+2)^{n}}\Big\}(t) =\frac{t^{\,n-1}}{(n-1)!}\,e^{-2t}.
Portanto
f(t) =-\frac{1}{16}\,1 +\frac{1}{8}\,t +\frac{1}{16}\,e^{-2t} +0 -\frac{1}{4}\,\frac{t^{2}}{2!}\,e^{-2t}.
Simplificando o último termo, fica
f(t)=-\tfrac{1}{16}+\tfrac{1}{8}\,t+\tfrac{1}{16}e^{-2t}-\tfrac{1}{8}t^{2}e^{-2t}.

Resposta

f(t)=-\frac{1}{16}+\frac{1}{8}\,t+\frac{1}{16}e^{-2t}-\frac{1}{8}t^{2}e^{-2t}.

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