Calcule as transformadas de Laplace usando a definição.
\mathcal{L}\left{t^{2} \operatorname{sinh} (k t)\right}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sinh}(k t)\}
usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
Para resolver, vamos usar também a propriedade de diferenciação em relação a s:
\mathcal{L}\{t^{n}f(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr].

Passo 2

Primeiro, calculamos a transformada de Laplace de \operatorname{sinh}(k t). Pela definição ou por tabelas conhecidas, tem‐se para s>|k|:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(k t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}\operatorname{sinh}(k t)\,e^{-st}dt =\frac{k}{s^{2}-k^{2}}.
Chamemos esse resultado de
F(s)=\frac{k}{s^{2}-k^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de diferenciação para t^{2}:
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sinh}(k t)\}(s) =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[F(s)\bigr]
(sem sinal negativo, pois (-1)^{2}=+1).

Passo 4

Calculamos a primeira derivada de F(s). Usando regra do quociente:
F'(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{k}{s^{2}-k^{2}}\Bigr) =-\frac{2ks}{(s^{2}-k^{2})^{2}}.

Passo 5

Em seguida, a segunda derivada:
F''(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(-\frac{2ks}{(s^{2}-k^{2})^{2}}\Bigr).
Novamente pela regra do quociente:
F''(s) =\frac{-2k\,(s^{2}-k^{2})^{2} -(-2ks)\cdot 2\,(s^{2}-k^{2})\cdot 2s} {(s^{2}-k^{2})^{4}}.
No numerador, fatorando 2k(s^{2}-k^{2}):
\begin{aligned} &-2k\,(s^{2}-k^{2})^{2}+8k s^{2}(s^{2}-k^{2}) =2k(s^{2}-k^{2})\bigl[-(s^{2}-k^{2})+4s^{2}\bigr]\\\ &\quad=2k(s^{2}-k^{2})(3s^{2}+k^{2}). \end{aligned}
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F''(s) =\frac{2k\,(s^{2}-k^{2})(3s^{2}+k^{2})}{(s^{2}-k^{2})^{4}} =\frac{2k\,(3s^{2}+k^{2})}{(s^{2}-k^{2})^{3}}.

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sinh}(k t)\}(s) =\frac{2k\,(3s^{2}+k^{2})}{(s^{2}-k^{2})^{3}}, \quad s>|k|. }

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